用反证法证明3NF属于2NF
时间: 2024-03-29 08:36:15 浏览: 35
假设存在一个关系模式R,它满足第三范式但不满足第二范式,即存在一个非主属性不完全依赖于R的候选键。
根据第三范式的定义,R中不存在传递依赖,即所有非主属性都直接依赖于候选键。因此,该非主属性必须直接依赖于候选键的某个子集,否则它就不是直接依赖于候选键。
但这样一来,该非主属性就不是非主属性了,它成为了另一个候选键的一部分。由于R已经满足第三范式,因此这个候选键必须是超键,即包含了R的所有属性。但这又与候选键是最小超键的定义相矛盾。
因此,假设不成立,证明了3NF一定属于2NF。
相关问题
贪心算法证明 反证法
贪心算法是一种常用的算法思想,它通常用于求解最优化问题。贪心算法的基本思想是:每一步都选择当前状态下最优的解,最终得到全局最优解。但是,贪心算法并不是所有问题都适用,有些问题需要进行证明才能确定贪心算法的正确性。
其中,反证法是一种常用的证明方法。反证法的基本思想是:假设所要证明的命题不成立,然后推导出一个矛盾的结论,从而证明原命题成立。
在贪心算法中,反证法通常用于证明贪心选择性质和最优子结构性质。具体来说,假设贪心算法得到的解不是最优解,然后推导出一个矛盾的结论,从而证明贪心算法得到的解是最优解。
举个例子,假设有一个背包问题,要求在背包容量为C的情况下,选择一些物品放入背包中,使得背包中物品的总价值最大。每个物品有两个属性:重量w和价值v。贪心算法可以选择每次选择单位重量价值最大的物品放入背包中。我们可以使用反证法来证明这个贪心算法的正确性:
假设贪心算法得到的解不是最优解,即存在一种更优的解。我们假设这个更优的解选择了物品i和物品j,但是贪心算法没有选择物品j,而是选择了物品k。那么我们可以得到以下两个不等式:
v[i]/w[i] > v[j]/w[j] (物品i的单位重量价值大于物品j的单位重量价值)
v[i]/w[i] < v[k]/w[k] (物品i的单位重量价值小于物品k的单位重量价值)
将这两个不等式相乘,得到:
v[i]*v[k] > v[j]*w[i]
由于v[i]、v[j]、w[i]、w[j]都是正数,所以上式成立。但是,我们知道贪心算法选择物品i和物品k的总价值一定大于选择物品i和物品j的总价值,因为:
v[i]*w[k] + v[k]*w[i] > v[i]*w[j] + v[j]*w[i]
这与上式矛盾,因此假设不成立,贪心算法得到的解是最优解。
最优合并问题的最优子结构性质证明,反证法
假设最优合并问题没有最优子结构性质,则存在某个最优解 S,它的其中一个子序列 T 也是最优解,但是在 S 中,T 不是相邻的两个序列合并得到的。
考虑将 S 分为两个部分,一部分包含 T,另一部分是剩余的序列。设这两部分分别为 A 和 B,即 S = A + B。
因为 T 在 S 中是最优解,所以 A 和 B 各自也是最优解。因为 T 不是相邻的两个序列合并得到的,所以 T 一定被分成了两个部分,设这两部分分别为 T1 和 T2,即 T = T1 + T2。
现在考虑将 A 和 B 合并成一个序列。由于 T1 和 T2 不相邻,所以在将 A 和 B 合并的过程中,T1 和 T2 也不会相邻。因此,在合并 A 和 B 的过程中,可以将 T1 和 T2 分别插入到 A 和 B 中,从而得到一个新的最优解 S'。但是,由于 T1 和 T2 不相邻,所以 S' 肯定比 S 更优,这与 S 的最优性矛盾。因此,假设不成立,最优合并问题具有最优子结构性质。
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