1设A∈Rnxn是对称正定矩阵，若非零向量组d1,d2,...,dn是A共轭的，则它们是线性无关的.请用反证法证明这个结论

假设向量组d1,d2,...,dn是线性相关的，则存在不全为零的实数c1,c2,...,cn，使得c1d1+c2d2+...+cndn=0。

由于向量组d1,d2,...,dn是A共轭的，因此有d1^TAd2=d2^TAd1，d1^TAd3=d3^TAd1，...，dn-1^TAdn=dn^TAdn-1。

将向量组d1,d2,...,dn代入上式，得到：

c1d1^TAd2+c2d2^TAd1+c3d1^TAd3+c4d2^TAd3+...+cn-1dn-1^TAdn+cndn^TAdn-1=0

将上式左右两边同时乘以向量组d1,d2,...,dn的转置，得到：

c1(d1^TAd1)+c2(d2^TAd2)+...+cn(dn^TAdn)=0

由于A是对称正定矩阵，因此对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。

因此，对于向量组d1,d2,...,dn中的任意一个向量di，都有di^TAdi>0。

因此，c1(d1^TAd1)+c2(d2^TAd2)+...+cn(dn^TAdn)>0。

这与上式得到的结果矛盾，因此假设不成立，向量组d1,d2,...,dn是线性无关的。

证毕。

相关问题

为什么因为A是对称正定矩阵，所以它的特征值都是正的。而如果d1,d2,...,dn是A共轭的，则它们对应的特征向量也是共轭的。因此，如果它们线性相关，则存在一个非零向量x，使得Ax=0。但是，由于A的特征值都是正的，所以这是不可能的。因此，d1,d2,...,dn是线性无关的。

因为对称正定矩阵的特征值都是正的，所以如果d1,d2,...,dn是A共轭的，它们对应的特征向量也是共轭的。如果它们线性相关，则存在一个非零向量x，使得Ax=0。但是，由于A的特征值都是正的，所以这是不可能的。因此，d1,d2,...,dn是线性无关的。

python .共轭矩阵

共轭矩阵是指矩阵的转置结果中，每个元素都取其共轭复数。在Python中，可以使用numpy库来进行矩阵的共轭操作。

首先，我们需要导入numpy库：

import numpy as np

接下来，我们可以通过numpy中的conjugate函数来计算矩阵的共轭：

matrix = np.array([[1+2j, 3+4j], [5+6j, 7+8j]])
conjugate_matrix = np.conjugate(matrix)

以上的代码中，我们创建了一个2x2的复数矩阵，并将其赋值给matrix变量。然后，我们使用np.conjugate函数对矩阵进行共轭操作，并将结果赋值给conjugate_matrix变量。

最后，我们可以打印出矩阵的共轭结果：

print(conjugate_matrix)

运行以上代码，将会输出共轭矩阵的结果：

[[1.-2.j 3.-4.j]
 [5.-6.j 7.-8.j]]

这样，我们就成功地计算出了原始矩阵的共轭矩阵。从输出结果可以看出，每个元素都取了其共轭复数，即实部不变，虚部取负值。

需要注意的是，共轭操作仅适用于复数矩阵，对于实数矩阵，共轭矩阵即为原始矩阵本身。