共轭梯度法求解对称正定线性方程组matlab代码

以下是使用共轭梯度法求解对称正定线性方程组的 MATLAB 代码：

function [x,flag,iter,residual] = cg(A,b,x0,tol,maxit)

% 初始化
n = size(A,1);
x = x0;
r = b - A*x;
p = r;
iter = 0;
residual = norm(r);

% 迭代
while residual > tol && iter < maxit
    Ap = A*p;
    alpha = (r'*r)/(p'*Ap);
    x = x + alpha*p;
    r_old = r;
    r = r - alpha*Ap;
    beta = (r'*r)/(r_old'*r_old);
    p = r + beta*p;
    residual = norm(r);
    iter = iter + 1;
end

% 输出结果
if residual <= tol
    flag = 0; % 成功收敛
else
    flag = 1; % 迭代达到最大次数但未收敛
end

其中，输入参数为：

- A：对称正定矩阵（必须是方阵）。
- b：列向量，表示方程组 Ax=b 中的 b 向量。
- x0：列向量，表示迭代的初始解。
- tol：标量，表示迭代停止的相对残差阈值。
- maxit：标量，表示最大迭代次数。

输出参数为：

- x：列向量，表示方程组 Ax=b 的解。
- flag：标量，表示迭代的收敛情况，flag = 0 表示成功收敛，flag = 1 表示迭代达到最大次数但未收敛。
- iter：标量，表示迭代次数。
- residual：标量，表示最终的相对残差。

使用方法：

假设要求解的线性方程组为 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，b 是一个列向量，可以按照以下方式调用 cg 函数：

A = ...; % 对称正定矩阵
b = ...; % 列向量
x0 = ...; % 初始解
tol = ...; % 相对残差阈值
maxit = ...; % 最大迭代次数
[x,flag,iter,residual] = cg(A,b,x0,tol,maxit);

其中，x 是求解得到的列向量，flag 表示迭代的收敛情况，iter 表示迭代次数，residual 表示最终的相对残差。