求6^1+6^2+...+6^n的和除以7的余数是多少？

我们观察前几项的和，可以发现：

6^1 % 7 = 6
6^2 % 7 = 1
6^3 % 7 = 6
6^4 % 7 = 1
6^5 % 7 = 6
6^6 % 7 = 1
...

可以看出，6的奇数次幂除以7的余数是6，偶数次幂除以7的余数是1。因此，6^1 6^2 ... 6^n的和除以7的余数就等于所有指数的奇偶性之和。

如果n是偶数，那么所有指数的奇偶性之和为n/2，因此和除以7的余数为1。

如果n是奇数，那么所有指数的奇偶性之和为(n+1)/2，因此和除以7的余数为6。

综上所述，6^1 6^2 ... 6^n的和除以7的余数为：

当n是偶数时，余数为1；
当n是奇数时，余数为6。

相关问题

输入一个正整数n；求6^1+6^2+...+6^n的和除以7的余数是多少？ 其中6^1表示6的一次方 用C语言

这个问题可以使用循环和数学技巧来解决。你可以使用公式 `(6^(n+1) - 1) / 5` 来计算从6的1次方到6的n次方的和，因为每个项都是6的倍数，除了最后一个。然后，将结果除以7并取余数。这是一个常见的中国剩余定理的应用，但是在这里，我们可以简化为对模运算的理解。

以下是一个简单的C语言程序实现：

#include <stdio.h>

int main() {
    int n, remainder;
    
    printf("请输入一个正整数n: ");
    scanf("%d", &n);
    
    long long sum = (long long)pow(6, n + 1) - 1; // 使用long long避免溢出
    remainder = sum % 7; // 取余数
    
    printf("6^1+6^2+...+6^n除以7的余数是: %d\n", remainder);
    return 0;
}

注意：这里我们使用了C标准库中的`pow()`函数计算幂，如果需要更低级别的控制，也可以使用循环来逐次乘以6。

求1+11+111+1111+…+11….11（n个1）的和除以7的余数是多少？

这个数列可以写成：1，11，111，1111，……，11……11（n个1）。

我们可以发现，每一项都是前一项乘以10再加1，即：

11 = 1 × 10 + 1
111 = 11 × 10 + 1
1111 = 111 × 10 + 1
……
11……11（n个1）= 11……11（n-1个1）× 10 + 1

因此，这个数列的通项公式为：

an = 1 + 11 + 111 + 1111 + …… + 11……11（n个1）
= 1 × (10^0 + 10^1 + 10^2 + …… + 10^(n-1)) + 11 × (10^1 + 10^2 + …… + 10^(n-1)) + …… + 11……11（n-1个1）× 10^(n-1)
= (10^0 + 10^1 + 10^2 + …… + 10^(n-1)) + 10(10^1 + 10^2 + …… + 10^(n-2)) + …… + 10^(n-1)

这是一个等比数列，首项为1，公比为10，共有n项。因此，它的和为：

Sn = (10^n - 1) / 9

我们要求这个和除以7的余数，可以先求出它除以9的余数，再根据同余定理求出除以7的余数。

(10^n - 1) / 9 = (9 + 1)^n - 1) / 9
= C(n,0) × 9^(n-0) + C(n,1) × 9^(n-1) + …… + C(n,n-1) × 9^1 + C(n,n) × 9^0

其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取k个元素的组合数。由于9除以7的余数为2，因此，我们只需要求出每一项的系数除以7的余数，再将它们相加，就可以得到Sn除以7的余数。

C(n,0) × 9^(n-0) ≡ 1 × 2^(n-0) (mod 7)
C(n,1) × 9^(n-1) ≡ n × 2^(n-1) (mod 7)
C(n,2) × 9^(n-2) ≡ C(n,2) × 4^(n-1) ≡ (n × (n-1) / 2) × 2^(n-2) (mod 7)
C(n,3) × 9^(n-3) ≡ C(n,3) × 8^(n-1) ≡ (n × (n-1) × (n-2) / 6) × 2^(n-3) (mod 7)
……
C(n,n-1) × 9^1 ≡ C(n,n-1) × 2^(n-1) (mod 7)
C(n,n) × 9^0 ≡ 1 × 1 (mod 7)

因此，Sn除以7的余数为：

Sn ≡ (1 × 2^(n-0) + n × 2^(n-1) + (n × (n-1) / 2) × 2^(n-2) + (n × (n-1) × (n-2) / 6) × 2^(n-3) + …… + C(n,n-1) × 2^(n-1) + 1) (mod 7)

这个式子可以用递归的方法求解。当n=1时，Sn=1，余数为1；当n>1时，Sn的余数等于Sn-1的余数乘以2加上n乘以2^(n-1)的余数再加1的余数。

Python代码如下：