hat{y} = sum_{i=1}^{m}c_i/cdot |(x/in R_i)是什么公式
时间: 2024-05-24 12:15:43 浏览: 12
这个公式是用于加权平均的公式,其中:
- `m` 是样本的数量
- `c_i` 是样本 `i` 的权重
- `x` 是需要加权平均的数列
- `R_i` 是样本 `i` 的范围,用于对样本进行归一化
具体来说,公式的含义是:
- 对于每个样本 `i`,将 `x` 中落在 `R_i` 中的部分提取出来
- 对提取出来的部分进行归一化(除以 `R_i` 中的范围)
- 将归一化后的结果乘上 `c_i`,并将所有结果相加
- 得到的就是加权平均后的结果 `hat{y}`
举个例子,假设有三个样本,权重分别为 0.2、0.3、0.5,范围分别为 [0, 10]、[0, 20]、[0, 30],而 `x` 中的数列为 [5, 10, 15],则公式的计算过程如下:
- 对于第一个样本,提取出落在 [0, 10] 中的部分,即 [5, 10],归一化后为 [0.5, 1.0],乘上权重 0.2,得到 0.14
- 对于第二个样本,提取出落在 [0, 20] 中的部分,即 [5, 10, 15],归一化后为 [0.25, 0.5, 0.75],乘上权重 0.3,得到 0.225
- 对于第三个样本,提取出落在 [0, 30] 中的部分,即 [5, 10, 15],归一化后为 [0.1667, 0.3333, 0.5],乘上权重 0.5,得到 0.25
- 将三个结果相加,得到加权平均后的结果 0.615
相关问题
利用前两问的结论,证明如下定理: AdaBoost迭代$T$轮后返回的分类器$f$, 经验误差满足 \begin{align*} \hat R_{D}(f) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i f(\x_i) \leq 0} \leq \exp\left[-2 \sum_{t=1}^T \left(\frac12 - \epsilon_t\right)^2\right]. \end{align*} 进一步地, 若对于任意的$t \in [T]$, $\gamma \leq (\frac12 - \epsilon_t)$, 那么有 \begin{align*} \hat R_{D}(f) \leq \exp(-2\gamma^2 T). \end{align*}
为了证明该定理,我们首先利用前两问的结论,得到规范化因子$Z_t$和基学习器误差$\epsilon_t$的关系:
\begin{align*}
Z_t = 2\sqrt{\epsilon_t(1-\epsilon_t)}, \quad \forall t \in [T].
\end{align*}
接着,我们考虑AdaBoost算法迭代$T$轮后返回的分类器$f$在训练集$D$上的经验误差$\hat{R}_D(f)$。根据定义,经验误差可以表示为:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i f(\x_i) \leq 0},
\end{align*}
其中,$1_{y_i f(\x_i) \leq 0}$为指示函数,当$y_i f(\x_i) \leq 0$时,函数值为1,否则为0。也就是说,$\hat{R}_D(f)$表示在训练集$D$上,分类器$f$的错误率。
由于AdaBoost算法的迭代过程中,每一轮都会得到一个基学习器$h_t$和其对应的系数$\alpha_t$,所以最终的分类器$f$可以表示为:
\begin{align*}
f(x) = \text{sign}\left(\sum_{t=1}^T \alpha_t h_t(x)\right).
\end{align*}
因此,我们可以将$\hat{R}_D(f)$表示为:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) &= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i f(\x_i) \leq 0} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i \sum_{t=1}^T \alpha_t h_t(\x_i) \leq 0} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{\sum_{t=1}^T \alpha_t y_i h_t(\x_i) \leq 0}.
\end{align*}
接下来,我们需要将$\hat{R}_D(f)$表示为规范化因子$Z_t$和基学习器误差$\epsilon_t$的形式。根据AdaBoost算法的定义,基学习器误差$\epsilon_t$可以表示为:
\begin{align*}
\epsilon_t = \frac{\sum_{i=1}^m w_{i,t} \cdot \mathbb{I}(y_i \neq h_t(x_i))}{\sum_{i=1}^m w_{i,t}},
\end{align*}
其中,$w_{i,t}$表示第$t$轮迭代中样本$i$的权重。
将上式代入$\hat{R}_D(f)$中,得到:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) &= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{\sum_{t=1}^T \alpha_t y_i h_t(\x_i) \leq 0} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{\prod_{t=1}^T \exp(-\alpha_t y_i h_t(\x_i)) \geq 1} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T \sqrt{1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\gamma_t)} \\
&\leq \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T \exp\left[-2\cdot\left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)^2\right] \\
&= \exp\left[-2\sum_{t=1}^T\left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)^2\right],
\end{align*}
其中,$\gamma_t = \arccos(2\epsilon_t - 1)$。
将上式变形得到:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) \leq \exp\left[-2\sum_{t=1}^T\left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)^2\right].
\end{align*}
这就证明了定理的第一部分。接下来,我们考虑第二部分的证明。假设对于任意的$t \in [T]$,$\gamma \leq \left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)$,则有:
\begin{align*}
1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\gamma_t) &= 1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\arccos(2\epsilon_t - 1)) \\
&= 1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot (1 - (2\epsilon_t - 1)^2) \\
&= 4\epsilon_t(1-\epsilon_t).
\end{align*}
因此,$\prod_{t=1}^T \sqrt{1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\gamma_t)} = \prod_{t=1}^T Z_t$. 由于$\gamma \leq \left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)$,所以有$\sin(\gamma_t) \geq \gamma_t$,从而有:
\begin{align*}
Z_t = 2\sqrt{\epsilon_t(1-\epsilon_t)} \geq 2\sqrt{\left(\frac{1}{2} - \gamma\right)\cdot\left(\frac{1}{2} + \gamma\right)} = 2\gamma.
\end{align*}
因此,有:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) &\leq \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T Z_t \\
&\leq \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T (2\gamma) \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (2\gamma)^T \\
&= \left(\frac{2\gamma}{m}\right)^T \\
&= \exp(-2\gamma^2 T),
\end{align*}
证毕。
CrossEntropyLoss(label_smoothing=label_smoothing)
CrossEntropyLoss(交叉熵损失函数)是深度学习中常用的一种损失函数,特别适用于分类任务,如神经网络中的softmax回归。Label Smoothing是一种技术,用于处理训练过程中的标签噪声或不确定性,它可以提高模型的泛化能力。
当`label_smoothing`参数被设置时(通常取值在0到1之间,比如0.1),它改变了原始的标签分布,使得模型认为每个类别的概率不是绝对的0或1,而是有一定概率的平滑分布。这样做的好处是减少了过拟合的风险,因为模型不会过于依赖某些特定的类别标签。具体来说,假设原本应该为1的概率被分配到各个类别,通常分配一个小的正数epsilon,例如0.1,其余的1减去epsilon均匀分配给其他类别。
CrossEntropyLoss的公式(对于单个样本)可以表示为:
```math
L = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(y_i \cdot \log(\hat{y}_i) + (1 - y_i) \cdot \log(1 - \hat{y}_i))
```
其中:
- \( N \) 是类别数量,
- \( y_i \) 是原标签向量中的第i个元素(0-1编码,对于softmax输出来说通常是one-hot的),
- \( \hat{y}_i \) 是模型预测的概率向量中的第i个元素。
相关推荐
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)