用MATLAB写LU分解法求线性方程组Ax=b A=[1 2 6;4 8 -1;-2 3 5] b=[7;10;5]不用内置lu函数

在MATLAB中，LU分解是一种将矩阵分解成两个下三角矩阵（L和U）乘积的过程，可以用来解线性方程组。不过，MATLAB自带的`lu`函数更方便直接求解。如果不使用内置函数，我们可以手动编写算法进行LU分解。以下是步骤：

1. **计算系数矩阵A的系数列**：
对于给定的矩阵 `A = [1 2 6; 4 8 -1; -2 3 5]` 和向量 `b = [7; 10; 5]`，首先我们需要创建变量 `a`, `l`, 和 `u` 分别存储L、U矩阵以及临时结果。

% 矩阵A和向量b
A = [1 2 6; 4 8 -1; -2 3 5];
b = [7; 10; 5];

% 初始化L和U矩阵
n = size(A,1); % 获取行数
L = eye(n);   % 单位下三角矩阵
U = zeros(n,n);   % 空零上三角矩阵

2. **逐列计算L和U**：
我们需要遍历A的每一列，对于每列i，找到它在主对角线上非零元素的位置k，并更新L和U的相应值。

for i = 1:n
    if L(i,i) == 0
        % 找到第一个非零位置 k
        for k = i+1:n
            if U(k:i,i) ~= 0
                k = k;
                break;
            end
        end
        
        % 如果找不到非零位置，说明当前列已经是单位列了
        if k > i
            L(i,k) = 1;
        else
            error('Column is all zeros');
        end
        
        % 更新U矩阵
        U(1:k,i) = U(1:k,i) / U(k,k);
    end
    
    % 计算并保存当前列的剩余部分
    U(i+1:end,i) = A(i+1:end,i) - sum(L(i+1:end,1:i).*U(1:i,i));
end

3. **解决Ly = b**：
现在我们有了下三角矩阵L和向量y，通过前向代换求解y。

y = b;
for i = 1:n
    y(i) = y(i) / L(i,i);
end

4. **解决UX = y**：
再次从最后一列开始，通过回溯代换求解x。

x = zeros(n,1);
for i = n:-1:1
    x(i) = (y(i) - U(i+1:end,i).*x(i+1:end)) / U(i,i);
end

5. **检查解**
最终得到的结果 `x` 就是线性方程组 Ax = b 的解。