𝐻|0⟩=|+⟩,𝐻|1⟩=|−⟩ 请解析
时间: 2023-11-11 20:03:13 浏览: 37
根据引用中的公式,H|0⟩ = 1/√2 (|0⟩ + |1⟩) 和 H|1⟩ = 1/√2 (|0⟩ - |1⟩),我们可以将它们表示为H|0⟩ = |+⟩和H|1⟩ = |-⟩的形式,其中|+⟩和|-⟩分别表示Hadamard变换后的基态。具体来说,|+⟩ = 1/√2 (|0⟩ + |1⟩)和|-⟩ = 1/√2 (|0⟩ - |1⟩)。这意味着,当一个量子比特被Hadamard变换时,它将处于一个等概率的叠加态,即|0⟩和|1⟩的平均值。这种叠加态在量子计算中非常有用,因为它可以用来进行量子并行计算和量子搜索等操作。
相关问题
两电子系统的自旋波函数 |𝜒⟩ = 𝑐1 |↑↑⟩ + 𝑐2 |↑↓⟩ + 𝑐3 |↓↑⟩ + 𝑐4 |↓↓⟩ 对这一状态,测量第一个电子的自旋分量𝑠1𝑥总是+ 1/2 ℏ,并且测第二个电子的自旋分量𝑠2𝑦总 是为− 1/2 ℏ。求𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4。
根据题意,测量第一个电子的自旋分量𝑠1𝑥总是+ 1/2 ℏ,因此第一个电子处于状态 |↑⟩ 或 |↓⟩。而测量第二个电子的自旋分量𝑠2𝑦总是为− 1/2 ℏ,因此第二个电子处于状态 |↓⟩ 或 |↓⟩。
假设第一个电子处于状态 |↑⟩,第二个电子处于状态 |↓⟩,则测量这个状态的概率为:
P = |𝑐2|^2
因此,我们要求的系数𝑐2可以通过以下公式计算:
𝑐2 = ±√P
其中正负号取决于相位因子,我们可以任意选择。在这里,我们选择正号。
类似地,如果第一个电子处于状态 |↓⟩,第二个电子处于状态 |↑⟩,则测量这个状态的概率也为P,系数𝑐3可以计算为:
𝑐3 = ±√P
同样选择正号。而由于第一个电子处于状态 |↑⟩ 或 |↓⟩,因此系数𝑐1和𝑐4的模长平方之和为1-P,即:
|𝑐1|^2 + |𝑐4|^2 = 1 - P
我们无法确定具体的𝑐1和𝑐4,但是可以确定它们的相对大小关系。因为如果|𝑐1|^2 > |𝑐4|^2,则第一个电子处于状态 |↑⟩ 的概率大于处于状态 |↓⟩ 的概率,与测量结果不符。因此,必须有:
|𝑐1|^2 ≤ |𝑐4|^2
综上所述,系数𝑐1、𝑐2、𝑐3、𝑐4满足以下条件:
|𝑐1|^2 + |𝑐4|^2 = 1 - |𝑐2|^2 = 1 - |𝑐3|^2
|𝑐1|^2 ≤ |𝑐4|^2
𝑐2 = 𝑐3 = ±√P,选择正号即可。
X为内积空间,x⊥y,证明||x-y||=||x+y||
根据题意,我们需要证明 ||x-y||=||x+y||,其中 x⊥y。
根据内积的定义,我们有:
||x+y||^2 = ⟨x+y,x+y⟩
= ⟨x,x⟩ + ⟨x,y⟩ + ⟨y,x⟩ + ⟨y,y⟩
= ||x||^2 + 2Re⟨x,y⟩ + ||y||^2
(其中Re表示实部)
同理,有:
||x-y||^2 = ⟨x-y,x-y⟩
= ⟨x,x⟩ - ⟨x,y⟩ - ⟨y,x⟩ + ⟨y,y⟩
= ||x||^2 - 2Re⟨x,y⟩ + ||y||^2
因为 x⊥y,所以 ⟨x,y⟩=0,代入上面两个式子得:
||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2
||x-y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2
两式相减得:
||x+y||^2 - ||x-y||^2 = 4Re⟨x,y⟩
因为 Re⟨x,y⟩≤|⟨x,y⟩|,所以有:
||x+y||^2 - ||x-y||^2 ≤ 4|⟨x,y⟩|
又因为 Hölder 不等式有:
|⟨x,y⟩| ≤ ||x||·||y||
所以有:
||x+y||^2 - ||x-y||^2 ≤ 4||x||·||y||
两边同时开方得:
||x+y|| - ||x-y|| ≤ 2||x||·||y|| / ||x+y||
因为 ||x+y||≠0,所以有:
||x-y|| / ||x+y|| ≤ 2||x||·||y|| / ||x+y||^2
两边同时乘以 ||x+y||,得:
||x-y|| ≤ 2||x||·||y|| / ||x+y||·||x+y||
因为 ||x||和||y||都是非负数,所以有:
||x-y|| ≤ 2||x||·||y|| / ||x+y||^2 ≤ 2||x||·||y|| / 4min(||x||^2,||y||^2)
因为 x⊥y,所以 ||x||^2+||y||^2≠0,所以有:
||x-y|| ≤ 2||x||·||y|| / (||x||^2+||y||^2)
同理可得:
||x+y|| ≤ 2||x||·||y|| / (||x||^2+||y||^2)
因为 ||x||和||y||都是非负数,所以有:
||x-y||·||x+y|| ≤ 4||x||^2·||y||^2 / (||x||^2+||y||^2)
= 4||x||^2·||y||^2 / (||x||^2+||y||^2) - ||x||^2 + ||x||^2 + ||y||^2
= ||x||^2 + 2||x||·||y|| + ||y||^2 - ||x||^2 + ||x||^2 + ||y||^2
= 4||x||·||y||
两边同时开方得:
||x-y||·||x+y|| ≤ 2||x||·2||y||
因为 x⊥y,所以 ||x||·||y||=0,所以有:
||x-y||·||x+y|| = 0
因为 ||x-y||和||x+y||都是非负数,所以有:
||x-y|| = ||x+y||
因此,证毕。
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