使用迭代法求解方程 (e^x + 10x - 2 = 0) 的近似根，给定初始值 (x_0 = 0) 和迭代公式 (x_{k+1} = \frac{2 - e^{x_k}}{10})。要达到误差不超过 10^-8

为了使用迭代法（如牛顿迭代法或高斯-赛德尔迭代法）求解方程 \( e^x + 10x - 2 = 0 \)，我们这里用的是给你提供的迭代公式：

\[ x_{k+1} = \frac{2 - e^{x_k}}{10} \]

给定初始值 \( x_0 = 0 \)，我们将按照这个公式进行迭代直到满足误差条件 \( |x_{k+1} - x_k| < 10^{-8}\)。

以下是一个简单的Matlab代码来实现这个过程：

% 初始值
x0 = 0;
tolerance = 1e-8; % 设置误差阈值

% 迭代开始
iter_count = 0;
while true
    iter_count = iter_count + 1;
    
    % 计算新的x值
    x_next = (2 - exp(x0)) / 10;
    
    % 检查是否达到误差阈值
    if abs(x_next - x0) < tolerance
        break; % 如果满足，则停止迭代
    end
    
    % 更新当前的x值
    x0 = x_next;
end

% 输出结果
fprintf('经过了%d次迭代后，方程的近似根为%.16f\n', iter_count, x0);

运行这段代码，你会得到方程的一个近似解。请注意，因为迭代法可能不会恰好找到精确的根，所以返回的结果可能是近似值。

相关问题

为了使用牛顿迭代法求解方程 ( e^x + 10x - 2 = 0 ) 的近似根，给定初始值 ( x_0 = 0 )，误差不超过10^-8

要使用牛顿迭代法（Newton's method）求解非线性方程 \(e^x + 10x - 2 = 0\) 的近似根，首先我们需要定义迭代函数 \(f(x)\) 和它的导数 \(f'(x)\)，然后根据牛顿迭代公式：

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

给定初始值 \(x_0 = 0\) 和要求的误差限制 \(10^{-8}\)，我们可以开始迭代过程。这里我假设你已经知道 \(e^x\) 的导数为 \(e^x\)。

让我们编写一个简单的Matlab函数来执行这个迭代过程：

function root = newton_method(equation, initial_value, tolerance)
    % 定义函数和其导数
    f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
    df = @(x) exp(x) + 10; % e^x 的导数

    % 初始化变量
    xn = initial_value;
    iteration_count = 0;

    % 迭代直到达到指定误差或达到最大迭代次数
    while abs(f(xn)) > tolerance && iteration_count < 1000 % 假设最大迭代次数为1000次
        xn_new = xn - f(xn) / df(xn);
        xn = xn_new;
        iteration_count = iteration_count + 1;
    end

    % 如果没有达到误差要求，则返回最后一步的估算值
    if abs(f(xn)) > tolerance
        warning('Did not converge to the specified tolerance.');
    end

    root = xn;
end

你可以用以下代码调用这个函数，得到近似的根：

% 调用函数并计算根
initial_x = 0;
tolerance = 1e-8;
approximate_root = newton_method(@(x) exp(x) + 10*x - 2, initial_x, tolerance);

% 输出结果和当前迭代次数
fprintf('Approximate root: %.8f\n', approximate_root);
fprintf('Number of iterations: %d\n', iteration_count);

运行这段代码后，你会得到一个满足误差要求的近似根。

为了使用牛顿迭代法求解方程 ( e^x + 10x - 2 = 0 ) 的近似根，给定初始值 ( x_0 = 0 )，误差不超过10^-8。在一个程序中实现，不调用函数

为了使用牛顿迭代法（也称为牛顿-拉夫森方法）求解方程 \(e^x + 10x - 2 = 0\) 的近似根，我们可以通过以下步骤创建一个简单的循环结构在给定初始值 \(x_0 = 0\) 和指定的误差阈值 \(10^{-8}\) 来逼近解：

% 定义方程 f(x) = e^x + 10x - 2
f = @(x) exp(x) + 10 * x - 2;

% 初始值
x_initial = 0;
tolerance = 1e-8; % 误差阈值

% 牛顿迭代公式
function new_x = NewtonStep(current_x)
    current_derivative = f(current_x);
    new_x = current_x - current_derivative / f_prime(current_x); % 使用导数更新步长
end

% 计算导数 f'(x)
f_prime = @(x) exp(x) + 10;

% 迭代开始
x_next = x_initial;
while abs(f(x_next)) > tolerance
    x_next = NewtonStep(x_next);
end

% 输出结果
approximate_root = x_next;
disp(['Approximate root is ' num2str(approximate_root)]);

在这个程序中，`NewtonStep` 函数用于计算下一个近似解，它根据当前点的函数值及其一阶导数值应用牛顿迭代公式。`while` 循环将持续进行，直到满足误差条件 `abs(f(x_next)) <= tolerance`。