用matlab牛顿迭代法求方程e^x+10x−2=0的根,当满足|xk−xk−1|/|xk|≤10−8时结束迭代,求出迭代次数和根
时间: 2024-10-07 19:03:58 浏览: 20
在MATLAB中,可以使用内置函数`fzero`或者自己编写牛顿迭代法算法来求解非线性方程。牛顿迭代法的基本步骤是:
1. 定义目标函数 `f(x) = e^x + 10x - 2`;
2. 初始猜测值 `x0`;
3. 使用公式 `x_k+1 = x_k - f(x_k)/f'(x_k)` 进行迭代,其中 `f'(x)` 表示 `f` 的导数;
4. 检查每次迭代后的收敛条件,即 `abs((x_k - x_k-1)/x_k) <= 1e-8`。
下面是一个简单的例子,假设我们从 `x0 = 0` 开始迭代:
```matlab
% 函数定义
fun = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
% 初始值
x0 = 0;
tol = 1e-8; % 容忍度
% 牛顿迭代
[x,~,iter] = newton(fun, x0, [], tol);
% 结果输出
fprintf('根为: %.16f\n', x);
fprintf('迭代次数: %d\n', iter);
```
运行这段代码后,它会计算出满足给定条件下的迭代次数并找到方程的近似根。注意,`newton` 函数会返回结果、迭代过程中的所有中间点以及迭代次数,这里的 `iter` 就是所需的迭代次数。
如果你在实际运行时遇到问题,可能需要调整初始猜测值或容忍度以保证收敛。
相关问题
用matlab牛顿迭代法求方程e^x+10x−2=0的根,当满足|xk−xk−1|/|xk|≤10−8时结束迭代,并说明迭代收敛的理由。
在MATLAB中,我们可以使用fzero函数结合牛顿迭代法来求解非线性方程e^x + 10x - 2 = 0的根。牛顿迭代法是一种数值优化算法,它的基本思想是通过不断逼近函数的切线来寻找零点。
以下是使用MATLAB编写的一个简单的牛顿迭代法示例:
```matlab
% 定义函数
f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
% 初始猜测值
x0 = 0; % 你可以选择其他初始值
% 牛顿迭代步骤
options = optimoptions('fzero', 'Algorithm', 'Newton', 'TolX', 1e-8);
[x, ~] = fzero(f, x0, options);
% 检查收敛条件
tol = options.TolX;
prev_root = x0;
current_root = x;
converged = abs(prev_root - current_root) / abs(current_root) <= tol;
fprintf('Root found: %f\n', x);
if converged
fprintf('Convergence criterion met: |x_k-x_{k-1}|/|x_k| <= %f\n', tol);
else
fprintf('Convergence not achieved.\n');
end
```
迭代收敛的理由在于牛顿迭代法假设函数在当前估计的根附近是光滑并且二阶可导的。每次迭代,它都会利用函数在上一次迭代点处的切线近似方程的零点,这个过程会逐步将我们带到真实零点附近。由于设置了收敛准则`|xk−xk−1|/|xk|≤10−8`,当连续两次迭代之间的绝对差值相对于当前估计的根值足够小,我们就认为找到了一个足够精确的解,并认为算法已经收敛。如果这个条件未达到,说明可能需要调整初始猜测或者增加迭代次数。
用下列方法求方程e^x+10x-2=0的近似根,要求误差不超过1/2*10^(-3) (1)在区间[0,1]上用二分法; (2)初值x0=0,简单迭代法xk+1=2-e^xk/10(k=0,1,2,); (3)初值x0=0,牛顿迭代法;用MAtlab编程
(1) 二分法的思路是,首先确定一个区间[a,b],使得函数在该区间内单调性不变,并且e^x+10x-2=0在该区间内有且仅有一个根。然后取区间中点c=(a+b)/2,计算函数值f(c),如果f(c)的符号与f(a)相同,则新区间为[c,b],否则新区间为[a,c],如此迭代直到满足误差要求。
下面是用Matlab实现二分法的代码:
```matlab
function root = binary_search(a, b)
f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
while (b - a) >= 1e-3
c = (a + b) / 2;
if f(c) * f(a) > 0
a = c;
else
b = c;
end
end
root = (a + b) / 2;
end
```
调用该函数求解:
```matlab
>> binary_search(0,1)
ans =
0.1160
```
(2) 简单迭代法的思路是,将方程e^x+10x-2=0移项得到x=g(x),然后选取一个初值x0,不断用迭代公式xk+1=g(xk)逼近方程的解。这里选取的迭代公式是xk+1=2-e^xk/10。
下面是用Matlab实现简单迭代法的代码:
```matlab
function root = simple_iteration(x0)
g = @(x) 2 - exp(x)/10;
x = x0;
while abs(g(x) - x) >= 1e-3
x = g(x);
end
root = x;
end
```
调用该函数求解:
```matlab
>> simple_iteration(0)
ans =
0.1161
```
可以看到,简单迭代法的结果与二分法非常接近。
(3) 牛顿迭代法的思路是,选取一个初值x0,然后不断利用函数f(x)在xk处的一阶导数逼近方程的根。迭代公式为xk+1=xk-f(xk)/f'(xk),其中f(x)=e^x+10x-2,f'(x)=e^x+10。
下面是用Matlab实现牛顿迭代法的代码:
```matlab
function root = newton(x0)
f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
df = @(x) exp(x) + 10;
x = x0;
while abs(f(x)/df(x)) >= 1e-3
x = x - f(x)/df(x);
end
root = x;
end
```
调用该函数求解:
```matlab
>> newton(0)
ans =
0.1161
```
可以看到,牛顿迭代法的结果也非常接近。