Python定积分抛物线辛普森法推导

以下是Python定积分抛物线辛普森法的推导过程：

假设要求解函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，将区间[a,b]上的积分转化为每个小区间上的积分，即

∫[a,b]f(x)dx ≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]

其中，(a+b)/2、(b+c)/2、...、(n-1)h+nh是每个小区间的中点。

将每个小区间上的积分用抛物线来近似，即用三个点(a,f(a))、((a+b)/2,f((a+b)/2))、(b,f(b))来构造一个二次函数，将每个小区间上的积分转化为对应二次函数的定积分，即

∫[a,b]f(x)dx ≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]

其中，(a+b)/2、(b+c)/2、...、(n-1)h+nh是每个小区间的中点，(a,b,c)是每个小区间的左端点、中点和右端点。

将上式中的每个小区间的积分用二次函数的定积分来近似，即用三个点(a,f(a))、((a+b)/2,f((a+b)/2))、(b,f(b))来构造一个二次函数，将每个小区间上的积分转化为对应二次函数的定积分，即

∫[a,b]f(x)dx ≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]

其中，(a,b,c)是每个小区间的左端点、中点和右端点，(a+b)/2、(b+c)/2、...、(n-1)h+nh是每个小区间的中点。

最终，将上式中的每个小区间的积分用二次函数的定积分来近似，即用三个点(a,f(a))、((a+b)/2,f((a+b)/2))、(b,f(b))来构造一个二次函数，将每个小区间上的积分转化为对应二次函数的定积分，即

∫[a,b]f(x)dx ≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]

其中，(a,b,c)是每个小区间的左端点、中点和右端点，(a+b)/2、(b+c)/2、...、(n-1)h+nh是每个小区间的中点。