【进阶】深度信念网络（DBN）基础

# 2.1 限制玻尔兹曼机（RBM）

限制玻尔兹曼机（RBM）是深度信念网络（DBN）的基础单元。它是一种无向概率图模型，由两层可见单元和隐含单元组成。可见单元表示输入数据，隐含单元表示数据的抽象特征。

### 2.1.1 RBM的能量函数和概率分布

RBM的能量函数定义为：

E(v, h) = -b^T v - c^T h - v^T W h

其中：

* v 是可见单元的状态向量
* h 是隐含单元的状态向量
* b 是可见单元的偏置向量
* c 是隐含单元的偏置向量
* W 是可见单元和隐含单元之间的权重矩阵

RBM的概率分布由其能量函数导出，定义为：

P(v, h) = (1/Z) * exp(-E(v, h))

其中 Z 是归一化因子，确保概率分布的总和为 1。

# 2. DBN的理论基础

### 2.1 限制玻尔兹曼机（RBM）

#### 2.1.1 RBM的能量函数和概率分布

限制玻尔兹曼机（RBM）是一种随机神经网络，其能量函数定义为：

E(v, h) = -a^T v - b^T h - \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n v_i h_j w_{ij}

其中：

* `v` 是可见层节点的二值状态向量
* `h` 是隐藏层节点的二值状态向量
* `a` 和 `b` 是可见层和隐藏层的偏置向量
* `W` 是可见层和隐藏层之间的权重矩阵

RBM的概率分布由能量函数定义为：

p(v, h) = \frac{1}{Z} e^{-E(v, h)}

其中：

* `Z` 是归一化因子，确保概率分布的总和为 1

#### 2.1.2 RBM的学习算法

RBM 的学习算法旨在最小化能量函数。最常用的算法是对比散度（CD）算法，它通过交替采样可见层和隐藏层来更新权重。

**正向传播（采样可见层）：**

1. 从数据集中采样一个可见层状态 `v_0`
2. 计算隐藏层状态 `h_0`：`p(h_0 | v_0) = \sigma(b + W^T v_0)`
3. 采样可见层状态 `v_1`：`p(v_1 | h_0) = \sigma(a + W h_0)`

**负向传播（采样隐藏层）：**

1. 计算隐藏层状态 `h_1`：`p(h_1 | v_1) = \sigma(b + W^T v_1)`
2. 采样可见层状态 `v_2`：`p(v_2 | h_1) = \sigma(a + W h_1)`

**更新权重：**

W = W + \eta (v_0 h_0^T - v_2 h_1^T)

其中：

* `η` 是学习率

### 2.2 深度信念网络（DBN）

#### 2.2.1 DBN的结构和层级关系

深度信念网络（DBN）是由多个 RBM 堆叠而成，形成一个深度神经网络结构。每个 RBM 层的隐藏层作为下一层的可见层。

**DBN 的结构：**

Visible Layer -> RBM 1 -> Hidden Layer 1 -> RBM 2 -> Hidden Layer 2 -> ... -> RBM n -> Hidden Layer n

#### 2.2.2 DBN的训练算法

DBN 的训练分两步进行：

**逐层预训练：**

1. 将每个 RBM 层作为单独的模型进行训练，使用 CD 算法。
2. 将训练好的 RBM 层的隐藏层作为下一层的可见层。

**联合微调：**

1. 将所有 RBM 层连接起来，形成一个 DBN。
2. 使用反向传播算法对 DBN 进行微调，更新所有层的权重。

# 3. DBN的实践应用

### 3.1 图像识别

#### 3.1.1 DBN在图像识别中的优势

DBN在图像识别领域具有以下优势：

- **特征学习能力强：**DBN可以自动从图像数据中学习层次化的特征，这些特征对图像识别任务至关重要。
- **鲁棒性好：**DBN对图像噪声和失真具有较强的鲁棒性，即使在图像