时频分析：信号处理中的时空变换，揭示信号的隐藏信息

# 1. 时频分析概述

时频分析是一种强大的信号处理技术，用于分析信号在时域和频域上的变化。它可以揭示信号中隐藏的模式和特征，为各种应用提供有价值的信息。

时频分析的基本思想是将信号分解为一系列时频分量。这些分量可以表示为时频分布，它显示了信号在不同时间和频率上的能量分布。通过分析时频分布，我们可以获得信号的频率组成、变化模式和局部特性。

时频分析在信号处理、语音处理、图像处理和生物医学等领域有着广泛的应用。它可以用于信号特征提取、去噪、分类、识别、合成和重构。

# 2. 时频分析理论基础

### 2.1 时频分布的概念和性质

时频分布（Time-Frequency Distribution，TFD）是一种数学工具，用于表示信号在时频域中的分布情况。它将信号分解为时频分量，展示了信号在不同时间和频率上的能量分布。

时频分布具有以下性质：

- **能量守恒性：**时频分布中信号的总能量等于原始信号的能量。
- **边缘效应：**时频分布的边缘处可能出现伪影，这是由于信号截断引起的。
- **分辨率：**时频分布的时频分辨率受窗口函数的影响。窗口函数越窄，时域分辨率越高，但频域分辨率越低；反之亦然。
- **可逆性：**在某些条件下，时频分布可以重建原始信号。

### 2.2 短时傅里叶变换（STFT）

#### 2.2.1 STFT的原理和计算方法

短时傅里叶变换（STFT）是一种时频分析方法，它将信号划分为一系列重叠的时窗，然后对每个时窗进行傅里叶变换。STFT的计算方法如下：

def stft(x, window_size, overlap):
    """
    计算信号的短时傅里叶变换。

    参数：
        x: 信号。
        window_size: 时窗大小。
        overlap: 时窗重叠率。
    """
    # 划分子窗
    windows = [x[i:i+window_size] for i in range(0, len(x), int(window_size * (1 - overlap)))]

    # 对每个时窗进行傅里叶变换
    stft_x = [np.fft.fft(window) for window in windows]

    return stft_x

#### 2.2.2 STFT的局限性

STFT是一种常用的时频分析方法，但它也存在一些局限性：

- **固定窗口大小：**STFT使用固定大小的时窗，这可能会导致在高频段时频分辨率较差。
- **频谱泄漏：**由于时窗的截断，STFT可能会出现频谱泄漏，即信号的能量泄漏到相邻的频率分量中。
- **计算复杂度高：**STFT的计算复杂度与信号长度和时窗大小成正比，这对于长信号或大时窗大小可能会成为问题。

### 2.3 小波变换（WT）

#### 2.3.1 WT