时频分析：信号处理中的时空融合，实现信号的时空重构

# 1. 时频分析基础**

时频分析是一种信号处理技术，它同时考虑信号的时间和频率信息，揭示信号在时域和频域的演变规律。时频分析通过将信号分解为一系列时频分量，从而实现信号的时空重构，提取信号的特征信息。

时频分析方法主要包括：

- 短时傅里叶变换（STFT）：将信号分段，对每一段进行傅里叶变换，得到时变的频谱信息。
- 小波变换（WT）：采用小波基对信号进行多尺度分解，揭示信号在不同尺度上的时频特征。

# 2. 时频分析方法

时频分析方法是一种将信号分解到时频域的技术，它可以揭示信号在时间和频率上的变化规律。时频分析方法有很多种，常用的方法包括：

### 2.1 短时傅里叶变换（STFT）

**2.1.1 原理和公式**

STFT是一种局部化的傅里叶变换，它将信号划分为一系列重叠的窗口，然后对每个窗口进行傅里叶变换。STFT的公式如下：

STFT(x, t, f) = ∫x(τ)w(τ-t)e^(-j2πft)dτ

其中：

* x(t)是信号
* w(t)是窗口函数
* t是时间
* f是频率

**2.1.2 时频分辨率和窗口选择**

STFT的时频分辨率由窗口函数的长度决定。窗口函数越长，时域分辨率越好，但频域分辨率越差；窗口函数越短，频域分辨率越好，但时域分辨率越差。因此，窗口函数的选择需要根据具体应用场景进行权衡。

### 2.2 小波变换（WT）

**2.2.1 原理和公式**

WT是一种时频分析方法，它使用小波函数对信号进行分解。小波函数是一个局部化的振荡函数，它可以表示为母小波函数的平移和尺度变换。WT的公式如下：

WT(x, a, b) = ∫x(t)ψa,b(t)dt

其中：

* x(t)是信号
* ψa,b(t)是小波函数
* a是尺度参数
* b是平移参数

**2.2.2 小波基的选择和尺度变换**

小波基的选择会影响WT的时频分析性能。不同的母小波函数具有不同的时频特性，因此需要根据具体应用场景选择合适的小波基。尺度变换可以改变小波函数的频率响应，从而实现信号在不同频率范围的分析。

### 2.3 希尔伯特-黄变换（HHT）

**2.3.1 原理和公式**

HHT是一种自适应时频分析方法，它将信号分解为一系列称为本征模态函数（IMF）的成分。IMF是具有单一频率和幅度的振荡函数。HHT的公式如下：

IMF(x, t) = A(t)cos(ω(t)t + φ(t))

其中：

* A(t)是IMF的幅度
* ω(t)是IMF的频率
* φ(t)是IMF的相位

**2.3.2 本征模态函数（IMF）的提取**

HHT通过一个称为经验模态分解（EMD）的过程提取IMF。EMD是一个迭代过程，它将信号分解为一系列IMF，直到剩余的信号不再包含任何有意义的振荡。

**时频分析方法对比**

| 方法 | 时频分辨率 | 适应性 | 计算复杂度 |
|---|---|---|---|
| STFT | 固定 | 较差 | 较低 |
| WT | 可变 | 较好 | 较高 |
| HHT | 自适应 | 较好 | 较高 |

时频分析方法的选择需要根据具体应用场景进行权衡。STFT适合于时频分辨率要求不高且计算复杂度要求较低的应用；WT适合于时频分辨率要求较高且信号具有非平稳性的应用；HHT适合于信号具有非线性、非平稳性的应用。

# 3. 时频分析在信号处理中的应用**

### 3.1 信号去噪

时频分析在信号去噪中发挥着至关重要的作用，因为它能够分离信号和噪声的时频成分。

**3.1.1 基于STFT的去噪算法**

基于STFT的去噪算法通过将信号分解为一系列短时傅里叶变换（STFT）谱图来实现。噪声通常分布在STFT谱图中的高频区域，而信号则集中在低频区域。因此，可以通过阈值处理或维纳滤波等方法去除高频噪声成分。

import numpy as np
from scipy.signal import stft

def stft_denoise(signal, window_size, overlap):
    """
    基于STFT的信号去噪算法

    参数：
        signal: 输入信号
        window_size: STFT窗口大小
        overlap: STFT窗口重叠率
    """

    # 计算STFT谱图
    f, t, Zxx = stft(signal, window_size, overlap)

    # 阈值处理去除噪声
    Zxx_denoised = np.where(np.abs(Zxx) < np.mean(np.abs(Zxx)), 0, Zxx)

    # 重构信号
    signal_denoised = istft(Zxx_denoised, f, t)

    return signal_denoised

**3.1.2 基于WT的小波去噪算法**

小波变换（WT）是一种时频分析方法，它将信号分解为一系列小波系数。噪声通常集中在小波系数的高频区域，而信号则集中在低频区域。因此，可以通过阈值处理或软阈值处理等方法去除高频噪声成分。

import pywt

def wavelet_denoise(signal, wavelet_name, level):
    """
    基于小波变换的信号去噪算法

    参数：
        signal: 输入信号
        wavelet_name: