时频分析：从理论到实践，掌握信号处理核心技术

# 1. 时频分析理论基础**

时频分析是一种强大的信号处理技术，它可以同时揭示信号的时域和频域信息。它在各种应用中至关重要，包括信号去噪、特征提取和故障诊断。

时频分析的基本思想是将信号分解为一系列时频分量。这些分量表示信号在特定时间和频率上的能量分布。通过分析这些分量，我们可以深入了解信号的动态特性。

时频分析的理论基础建立在傅里叶变换之上。傅里叶变换将信号分解为一系列正弦波分量，每个分量都有特定的频率和幅度。然而，傅里叶变换无法提供信号随时间变化的信息。时频分析通过引入时窗函数来解决这个问题，该时窗函数允许我们局部化信号在时域中的分析。

# 2. 时频分析方法

### 2.1 短时傅里叶变换（STFT）

#### 2.1.1 原理与实现

**原理：**
STFT将信号划分为一系列重叠的时段，并在每个时段上应用傅里叶变换。通过将这些时频谱拼接起来，可以得到信号的时频表示。

**实现：**

import numpy as np
import scipy.signal

def stft(signal, window_size, hop_size):
    """
    计算信号的短时傅里叶变换。

    参数：
        signal: 输入信号。
        window_size: 窗口大小。
        hop_size: 窗口步长。
    """
    # 创建汉明窗
    window = scipy.signal.hamming(window_size)

    # 划分信号
    frames = np.array([signal[i:i+window_size] for i in range(0, len(signal), hop_size)])

    # 应用傅里叶变换
    stft = np.fft.fft(frames * window, axis=1)

    return stft

#### 2.1.2 时频分辨率与窗口函数

**时频分辨率：**
STFT的时频分辨率取决于窗口大小和重叠率。窗口越大，时域分辨率越高，频域分辨率越低；窗口越小，时域分辨率越低，频域分辨率越高。

**窗口函数：**
窗口函数用于平滑时段边界，减少频谱泄漏。常用的窗口函数有矩形窗、汉明窗、高斯窗等。

### 2.2 连续小波变换（CWT）

#### 2.2.1 原理与实现

**原理：**
CWT将信号与一系列小波函数进行卷积，从而获得信号的时频表示。小波函数是一个局部化的、振荡的函数，可以根据信号的特征进行选择。

**实现：**

import pywt

def cwt(signal, wavelet, scales):
    """
    计算信号的连续小波变换。

    参数：
        signal: 输入信号。
        wavelet: 小波函数。
        scales: 尺度范围。
    """
    cwt_coefficients = pywt.cwt(signal, wavelet, scales)

    return cwt_coefficients

#### 2.2.2 小波基与时频分辨率

**小波基：**
小波基是用于生成小波函数的母函数。常用的小波基