时频分析：信号处理中的时空调制器，塑造信号的时频特性

# 1. 时频分析概述

时频分析是一种强大的信号处理技术，它将信号在时间和频率两个维度上进行表示，揭示了信号随时间变化的频率成分。它广泛应用于各种领域，包括信号处理、语音识别、图像处理和医学成像。

时频分析的目的是在时间和频率域同时获得信号的局部信息。传统的频谱分析只能提供信号的频率信息，而时域分析只能提供信号的时间信息。时频分析弥补了这两者的不足，提供了信号在时间和频率上变化的全面视图。

时频分析的理论基础是时频分布函数，它将信号表示为时间和频率的联合函数。最常用的时频分布函数包括短时傅里叶变换 (STFT) 和小波变换。STFT 采用滑动窗口将信号分解为一系列短时傅里叶变换，而小波变换使用一系列尺度和平移的小波函数来分析信号。

# 2. 时频分析理论基础

### 2.1 时频分布函数

时频分布函数是时频分析的核心，它描述了信号在时域和频域上的联合分布。常用的时频分布函数包括：

#### 2.1.1 短时傅里叶变换 (STFT)

STFT 将信号分解为一系列短时平稳片段，并对每个片段进行傅里叶变换。其时频分布函数定义为：

STFT(x, t, f) = ∫_{-∞}^{∞} x(τ) w(τ - t) e^(-2πift) dτ

其中：

- `x(t)` 为输入信号
- `w(t)` 为窗函数
- `t` 为时间
- `f` 为频率

**代码逻辑逐行解读：**

1. `∫_{-∞}^{∞} x(τ) w(τ - t) e^(-2πift) dτ`：对输入信号 `x(t)` 进行窗函数 `w(t)` 加权，然后进行傅里叶变换。
2. `w(τ - t)`：将窗函数平移到时间 `t` 处，实现短时平稳。
3. `e^(-2πift)`：进行傅里叶变换，将时域信号转换为频域信号。

**参数说明：**

- `window_size`：窗函数长度，决定了时频分辨率。
- `hop_size`：窗函数移动步长，决定了时频覆盖范围。

#### 2.1.2 小波变换

小波变换采用尺度和位置可变的小波基函数对信号进行分解。其时频分布函数定义为：

CWT(x, a, b) = ∫_{-∞}^{∞} x(t) ψ_{a,b}(t) dt

其中：

- `x(t)` 为输入信号
- `ψ_{a,b}(t)` 为小波基函数
- `a` 为尺度参数
- `b` 为平移参数

**代码逻辑逐行解读：**

1. `∫_{-∞}^{∞} x(t) ψ_{a,b}(t) dt`：对输入信号 `x(t)` 进行小波基函数 `ψ_{a,b}(t)` 积分。
2. `ψ_{a,b}(t)`：小波基函数，通过尺度 `a` 和平移 `b` 参数生成。
3. `a`：尺度参数，控制小波基函数的频率范围。
4. `b`：平移参数，控制小波基函数在时域上的位置。

**参数说明：**

- `wavelet_type`：小波基函数类型，如 Haar、Daubechies、Morlet。
- `scales`：尺度参数集合，决定了时频分辨率。
- `positions`：平移参数集合，决定了时频覆盖范围。

### 2.2 时频分析的数学特性

#### 2.2.1 分辨率与不确定性原理

时频分析中存在分辨率与不确定性之间的权衡。提高时域分辨率会降低频域分辨率，反之亦然。这种权衡关系由不确定性原理描述：

Δt Δf ≥ 1 / (4π)

其中：

- `Δt` 为时域分辨率
- `Δf` 为频域分辨率

#### 2.2.2 联合时频分布的性质

联合时频分布具有以下性质：

- **边缘效应：**由于窗函数的有限长度，STFT 在时频边缘处会出现失真。
- **交叉项：**STFT 中可能出现交叉项，反映了信号中不同频率分量的相互调制。
- **能量守恒：**STFT 的能量分布等于原始信号的能量分布。

# 3. 时频分析实践应用

### 3.1 信号特征提取

时频分析在信号特征提取中发挥着至关重要的作用，它可以揭示信号的时频特性，从而提取出有