时频分析：信号处理中的时空导航，探索信号的时频分布

# 1. 时频分析基础**

时频分析是一种强大的信号处理技术，它允许我们同时分析信号的时间和频率信息。它通过将信号分解为一系列时频分量来实现这一点，这些分量表示信号在不同时间和频率上的能量分布。

时频分析的基础是傅里叶变换，它将信号从时域转换为频域。然而，傅里叶变换无法提供时间信息，因此时频分析使用短时傅里叶变换（STFT）等技术来克服这一限制。STFT通过将信号划分为重叠的窗口，然后对每个窗口应用傅里叶变换，在时间和频率维度上提供信号的表示。

# 2. 时频分析方法

### 2.1 短时傅里叶变换（STFT）

#### 2.1.1 原理和实现

**原理：**

STFT 是一种时频分析技术，将信号划分为重叠的短时窗口，并对每个窗口应用傅里叶变换。通过滑动窗口，可以得到信号在时频域的分布。

**实现：**

import numpy as np

def stft(signal, window_size, hop_size):
    """
    对信号进行短时傅里叶变换。

    参数：
        signal: 输入信号。
        window_size: 窗口大小。
        hop_size: 窗口滑动步长。

    返回：
        时频谱。
    """

    # 窗口函数
    window = np.hanning(window_size)

    # 划窗
    frames = np.array([signal[i:i+window_size] for i in range(0, len(signal)-window_size+1, hop_size)])

    # 傅里叶变换
    stft = np.abs(np.fft.fft(frames * window))

    return stft

#### 2.1.2 窗口选择和参数优化

**窗口选择：**

窗口选择影响 STFT 的时频分辨率。常用的窗口有：

- 汉明窗：平衡时间和频率分辨率。
- 汉宁窗：频率分辨率高于时间分辨率。
- 矩形窗：时间分辨率高于频率分辨率。

**参数优化：**

窗口大小和滑动步长是 STFT 的关键参数。

- **窗口大小：**影响频率分辨率，窗口越大，频率分辨率越高。
- **滑动步长：**影响时间分辨率，步长越大，时间分辨率越低。

### 2.2 小波变换

#### 2.2.1 原理和实现

**原理：**

小波变换是一种时频分析技术，使用小波函数对信号进行多尺度分解。小波函数是一个具有局部化时频特性的函数，通过平移和缩放，可以得到信号在不同尺度和时间位置上的信息。

**实现：**

import pywt

def wavelet_transform(signal, wavelet_name):
    """
    对信号进行小波变换。

    参数：
        signal: 输入信号。
        wavelet_name: 小波函数名称。

    返回：
        小波系数。
    """

    # 小波变换
    wavelet_coefficients = pywt.wavedec(signal, wavelet_name)

    return wavelet_coefficients

#### 2.2.2 小波基选择和参数优化

**小波基选择：**

小波基的选择影响小波变换的时频特性。常用的小波基有：

- Haar 小波：简单，但频率分辨率较低。
- Daubechies 小波：频率分辨率较高，但计算量较大。
- Symlets 小波：介于 Haar 和 Daubechies 小波之间。

**参数优化：**

小波分解的层数和阈值是影响小波变换的关键参数。

- **分解层数：**影响时频分辨率，层数越多，时频分辨率越高。
- **阈值：**影响小波系数的稀疏性，阈值越大，小波系数越稀疏。

### 2.3 希尔伯特-黄变换（HHT）

#### 2.3.1 原理和实现

**原理：**

HHT 是一种时频分析技术，将信号分解为一系列本征模态函数（IMF）。IMF 是具有单一频率和调幅的信号分量，通过迭代分解，可以得到信号在不同频率上的分布。

**实现：**

import numpy as np

def empirical_mode_decomposition(signal):
    """
    对信号进行经验模态分解。

    参数：
        signal: 输入信号。

    返回：
        本征模态函数。
    """

    imfs = []
    residue = signal

    while True:
        # 提取 IMF
        imf = extract_imf(residue)
        imfs.append(imf)

        # 更新残差
        residue = residue - imf

        # 停止条件
        if np.abs(residue).max() < 1e-6:
            break

    return imfs

def extract_imf(signal):
    """
    提取本征模态函数。

    参数：
        signal: 输入信号。

    返回：
        本征模态函数。
    """

    # 上包络和下包络
    upper_envelope = signal
    lower_envelope = signal

    # 迭代计算
    while True:
        # 计算均值包络
        mean_envelope = (upper_envelope + lower_envelope) / 2

        # 更新上包络和下包络
        upper_envelope = signal - mean_envelope
        lower_envelope = mean_envelope - signal

        # 停止条件
        if np.abs(upper_envelope - lower_envelope).max() < 1e-6:
            break

    # 返回 IMF
    return mean_envelope

#### 2.3.2 本征模态函数（IMF）提取

IMF 的提取是 HHT 的核心步骤。IMF 满足以下条件：

- 整个信号的极值点和零点个数相等，或者相差一个。
- 在任何时间点，IMF 的局部极大值包络线和局部极小值包络线之间的平均值等于零。

# 3. 时频分析在信号