时频分析：信号处理的时空透视，洞察信号的动态变化

# 1. 时频分析概述

时频分析是一种信号处理技术，用于同时分析信号的时间和频率特性。它通过时频分布将信号表示在二维时频平面上，揭示了信号随时间变化的频率成分。时频分析在信号处理、故障诊断、语音信号处理等领域有着广泛的应用。

时频分析方法主要包括窗口法、小波变换和希尔伯特-黄变换。窗口法将信号分割成短时段，然后对每个短时段进行傅里叶变换。小波变换使用一系列小波基函数来分解信号，每个基函数对应于特定的时频范围。希尔伯特-黄变换将信号分解成一系列固有模态函数，每个模态函数对应于一个特定频率分量。

# 2. 时频分析理论基础

### 2.1 时频表示的数学原理

#### 2.1.1 时频平面和时频分布

时频分析的本质是对信号进行时域和频域的联合表示。时频平面是一个二维空间，横轴表示时间，纵轴表示频率。时频分布是定义在时频平面上的函数，它表示信号在不同时间和频率下的能量分布。

#### 2.1.2 短时傅里叶变换（STFT）

STFT是一种经典的时频分析方法。它将信号划分为一系列重叠的时窗，并对每个时窗进行傅里叶变换。得到的时频分布称为频谱图。

**代码块：**

import numpy as np
from scipy.signal import stft

# 定义信号
signal = np.sin(2 * np.pi * 100 * np.linspace(0, 1, 1000))

# 设置STFT参数
window_size = 256
hop_length = 128

# 计算STFT
f, t, Zxx = stft(signal, fs=1000, window='hann', nperseg=window_size, noverlap=hop_length)

**逻辑分析：**

* `stft()`函数将信号划分为重叠的汉明窗，每个窗口大小为`window_size`，重叠长度为`hop_length`。
* `f`表示频率，`t`表示时间，`Zxx`表示时频分布。

### 2.2 时频分析方法

#### 2.2.1 窗口法

窗口法是时频分析中最简单的方法。它将信号划分为一系列重叠的时窗，并对每个时窗进行傅里叶变换。窗口函数的选择会影响时频分布的频率分辨率和时间分辨率。

#### 2.2.2 小波变换

小波变换是一种多尺度时频分析方法。它使用一系列称为小波基的函数对信号进行分解。小波基具有良好的时频局部化特性，能够捕捉信号中的瞬态和局部特征。

#### 2.2.3 希尔伯特-黄变换

希尔伯特-黄变换是一种非线性时频分析方法。它将信号分解为一系列称为固有模态函数（IMF）的成分。IMF具有单一的频率和调幅，可以揭示信号中隐藏的非线性特征。

**表格：时频分析方法对比**

| 方法 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|
| 窗口法 | 简单易用 | 频率分辨率和时间分辨率受限 |
| 小波变换 | 时频局部化好 | 计算复杂度高 |
| 希尔伯特-黄变换 | 揭示非线性特征 | 算法不稳定 |

**mermaid流程图：时频分析方法选择**

graph LR
subgraph 窗口法
    窗口法 --> 频率分辨率和时间分辨率受限
end
subgraph 小波变换
    小波变换 --> 计算复杂度高
end
subgraph 希尔伯特-黄变换
    希尔伯特-黄变换 -->