MATLAB泊松分布随机数生成：掌握泊松分布随机数生成算法，解决实际问题

# 1. 泊松分布简介**

泊松分布是一种离散概率分布，它描述了在固定时间或空间间隔内发生的事件数量。泊松分布的概率质量函数为：

P(X = k) = (λ^k * e^-λ) / k!

其中：

* X 是随机变量，表示事件发生的次数
* λ 是平均事件发生率

泊松分布具有无记忆性，这意味着事件发生的概率仅取决于当前时间或空间间隔，与过去发生的事件无关。

# 2. 泊松分布随机数生成算法

泊松分布是一种描述离散事件在固定时间或空间区间内发生次数的概率分布。泊松分布随机数生成算法用于生成符合泊松分布的随机数，在实际问题中有着广泛的应用，例如队列长度模拟、缺陷率分析和风险评估。本章将介绍两种常用的泊松分布随机数生成算法：逆变换法和接受-拒绝法。

### 2.1 逆变换法

逆变换法是生成泊松分布随机数的一种直接方法。其原理是利用泊松分布的累积分布函数（CDF）的逆函数来生成随机数。

#### 2.1.1 泊松分布的累积分布函数

泊松分布的累积分布函数为：

F(x) = 1 - e^(-λ) * Σ(λ^k / k!)

其中，λ 为泊松分布的参数，表示单位时间或空间区间内事件发生的平均次数。

#### 2.1.2 逆变换法步骤

逆变换法生成泊松分布随机数的步骤如下：

1. 生成一个均匀分布在 [0, 1] 之间的随机数 u。
2. 求解方程 F(x) = u，得到 x 的值。
3. x 即为符合泊松分布 λ 的随机数。

import numpy as np

def poisson_inverse_transform(lambda_):
  """
  逆变换法生成泊松分布随机数

  Args:
    lambda_: 泊松分布的参数

  Returns:
    符合泊松分布 λ 的随机数
  """

  # 生成均匀分布随机数
  u = np.random.uniform()

  # 求解方程 F(x) = u
  x = np.log(1 - u) / (-lambda_)

  return x

### 2.2 接受-拒绝法

接受-拒绝法是一种间接生成泊松分布随机数的方法。其原理是利用一个易于生成且与泊松分布相似的分布作为候选分布，然后通过接受-拒绝准则来生成符合泊松分布的随机数。

#### 2.2.1 泊松分布的概率密度函数

泊松分布的概率密度函数为：

P(X = x) = (λ^x * e^(-λ)) / x!

#### 2.2.2 接受-拒绝法步骤

接受-拒绝法生成泊松分布随机数的步骤如下：

1. 选择一个候选分布，其概率密度函数为 g(x)，且满足 g(x) >= P(X = x) 对于所有 x。
2. 生成一个候选分布的随机数 y。
3. 生成一个均匀分布在 [0, g(y)] 之间的随机数 u。
4. 如果 u <= P(X = y)，则接受 y，否则拒绝 y。
5. 重复步骤 2-4，直到生成一个符合泊松分布的随机数。

import numpy as np

def poisson_accept_reject(lambda_):
  """
  接受-拒绝法生成泊松分布随机数

  Args:
    lambda_: 泊松分布的参数

  Returns:
    符合泊松分布 λ 的随机数
  """

  # 选择候选分布为指数分布