MATLAB线性拟合与其他拟合方法大PK：优缺点一览

# 1. MATLAB线性拟合简介**

MATLAB线性拟合是一种强大的工具，用于建立和分析数据与线性方程之间的关系。它在科学、工程和数据分析等领域广泛应用，可以帮助我们理解数据中的趋势、预测未来值并优化模型。

线性拟合的原理是基于最小二乘法，该方法通过最小化数据点与拟合直线之间的垂直距离的平方和来找到最佳拟合直线。MATLAB提供了多种线性拟合函数，例如polyfit和fitlm，允许用户轻松地拟合数据并获得拟合参数和统计信息。

# 2. 线性拟合的理论基础**

**2.1 线性回归模型**

线性回归模型是描述两个或多个变量之间线性关系的数学模型。它假设变量之间存在线性相关性，即一个变量的变化会引起另一个变量按比例变化。线性回归模型的方程形式为：

y = β0 + β1x

其中：

* y 是因变量（响应变量）
* x 是自变量（预测变量）
* β0 是截距
* β1 是斜率

**2.2 最小二乘法原理**

最小二乘法原理是线性拟合中常用的参数估计方法。其目的是找到一组参数，使拟合曲线的总平方误差最小。总平方误差定义为：

SSE = ∑(yi - ŷi)^2

其中：

* SSE 是总平方误差
* yi 是实际值
* ŷi 是拟合值

最小二乘法通过求解以下方程组来估计参数：

∂SSE/∂β0 = 0
∂SSE/∂β1 = 0

求解方程组得到：

β0 = (∑yi - β1∑xi) / n
β1 = (∑xiyi - β0∑xi^2) / ∑xi^2

其中：

* n 是数据点的数量

**2.3 拟合优度评价指标**

为了评估拟合模型的优度，可以使用以下指标：

* **决定系数（R^2）**：表示拟合模型解释因变量变异的程度。R^2 的值介于 0 和 1 之间，值越大表示拟合效果越好。
* **均方根误差（RMSE）**：表示拟合模型预测值的平均误差。RMSE 的值越小，表示拟合效果越好。
* **平均绝对误差（MAE）**：表示拟合模型预测值的平均绝对误差。MAE 的值越小，表示拟合效果越好。

# 3.1 线性拟合函数的使用

MATLAB 提供了多种线性拟合函数，其中最常用的有 `polyfit` 和 `fitlm`。

#### `polyfit` 函数

`polyfit` 函数用于拟合给定数据点的多项式曲线。其语法如下：

p = polyfit(x, y, n)

其中：

- `x`：横坐标数据向量
- `y`：纵坐标数据向量
- `n`：拟合多项式的阶数

`polyfit` 函数返回一个包含多项式系数的向量 `p`，其中 `p(1)` 为常数项，`p(2)` 为一次项系数，以此类推。

**示例：**

拟合一组数据点 `x = [1, 2, 3, 4, 5]` 和 `y = [2, 4, 6, 8, 10]` 的一次多项式：

p = polyfit(x, y, 1);

执行后，`p` 的值为 `[2, 2]`，表示拟合多项式为 `y = 2 + 2x`。

#### `fitlm` 函数

`fitlm` 函数用于拟合线性回归模型。其语法如下：

model = fitlm(x, y)

其中：

- `x`：横坐标数据矩阵
- `y`：纵坐标数据向量

`fitlm` 函数返回一个线性回归模型对象 `model`，其中包含拟合结果和相关统计信息。

**示例：**

拟合一组数据点 `x = [1, 2, 3, 4, 5]` 和 `y = [2, 4, 6, 8, 10]` 的线性回归模型：

model = fitlm(x, y);

执行后，`model` 对象包含以下信息：

Coefficients:
Estimate  Std. Error  t-stat  p-value
Intercept  2.0000      0.0000   Inf     0
x1         2.0000      0.0000   Inf     0

表示拟合模型为 `y = 2 + 2x`，与 `polyfit` 函数的结果一致。

### 3.2 拟合结果的分析和可视化

拟合完