【进阶】支持向量机(SVM)原理与实现

# 1. 支持向量机（SVM）概述**

支持向量机（SVM）是一种强大的机器学习算法，用于解决分类和回归问题。它通过将数据映射到高维特征空间，然后在该空间中找到最佳决策边界来工作。SVM 因其在处理复杂非线性数据时的出色性能而闻名，即使在数据量大且维度高的情况下也是如此。

SVM 的核心思想是找到一个超平面，该超平面将不同类别的点分隔开来。超平面由支持向量定义，支持向量是距离超平面最近的数据点。SVM 算法的目标是找到一个超平面，使得支持向量之间的间隔最大化，从而确保分类边界具有最大的鲁棒性。

# 2. SVM理论基础

### 2.1 线性可分与不可分

线性可分是指在特征空间中，存在一个超平面能够将不同类别的样本完全分开。超平面是一个维数与特征空间维数相同的线性方程，其方程形式为：

w^T x + b = 0

其中：

* w 为超平面的法向量，其方向垂直于超平面
* x 为样本特征向量
* b 为超平面的截距

如果样本在特征空间中线性可分，则可以找到一个超平面，使得所有正类样本位于超平面的正半空间（w^T x + b > 0），所有负类样本位于超平面的负半空间（w^T x + b < 0）。

### 2.2 核函数与映射

对于线性不可分的数据，可以通过核函数将数据映射到更高维度的特征空间，使其在高维空间中线性可分。核函数是一个函数，它将输入空间中的两个样本映射到一个高维空间中的内积。

常用的核函数有：

* 线性核：`K(x, y) = x^T y`
* 多项式核：`K(x, y) = (x^T y + c)^d`
* 高斯核：`K(x, y) = exp(-γ ||x - y||^2)`

通过核函数映射，SVM可以将线性不可分的数据转化为线性可分的数据，从而进行分类。

### 2.3 支持向量与决策边界

支持向量是位于超平面两侧最靠近超平面的样本点。这些样本点对超平面的确定起着至关重要的作用。

决策边界是将不同类别的样本分开的超平面。决策边界的方程为：

w^T x + b = 0

决策边界由支持向量确定。支持向量位于决策边界两侧，并且与决策边界距离相等。

### 2.4 松弛变量与软间隔

在实际应用中，数据可能存在噪声或异常值，导致数据无法完全线性可分。为了解决这个问题，SVM引入松弛变量，允许部分样本违反分类规则。

松弛变量是一个非负变量，表示样本违反分类规则的程度。引入松弛变量后，SVM的优化目标变为：

min 1/2 ||w||^2 + C ∑i=1^n ξi

其中：

* C 为惩罚参数，用于控制松弛变量的权重
* ξi 为松弛变量

通过松弛变量，SVM可以处理线性不可分的数据，并且可以控制分类误差和模型复杂度之间的平衡。

# 3.1 SMO算法原理

序列最小优化算法（SMO）是一种用于训练支持向量机的有效算法。它将原始二次规划问题分解为一系列较小的子问题，从而降低了计算复杂度。

SMO算法的基本思想是：

1. **选择一对违反KKT条件的样本**：KKT条件是SVM对偶问题的最优解必须满足的条件。违反KKT条件的样本是指不满足KKT条件的样本。
2. **固定其他所有样本的α值，只更新所选样本对的α值**：通过求解一个关于所选样本对α值的二次规划子问题，更新其α值。
3. **更新其他所有样本的α值**：根据所选样本对α值的更新，计算其他所有样本的α值。
4. **重复步骤1-3，直到满足终止条件**：终止条件通常是达到一定的精度或最大迭代次数。

### 3.2 SMO算法流程

SMO算法的流程如下：

1. **初始化**：设置所有样本的α值为0。
2. **选择违反KKT条件的样本对**：遍历所有样本，选择违反KKT条件的样本对。
3. **更新所选样本对的α值**：求解关于所选样本对α值的二次规划子问题，更新其α值。
4. **更新其他所有样本的α值**：根据所选样本对α值的更新，计算其他所有样本的α值。
5. **检查终止条件**：如果满足终止条件，则停止算法；否则，转到步骤2。

### 3.3 SVM模型评估

训练好SVM模型后，需要对其进行评估以判断其性能。常用的评估指标包括：

- **准确率**：模型预测正确的样本数占总样本数的比例。
- **召回率**：模型预测为正例的正例样本数占所有正例样本数的比例。
-