动态规划经典问题大揭秘：深入剖析经典问题的解决之道

# 1. 动态规划概述

动态规划是一种解决复杂问题的强大技术，它将问题分解为较小的子问题，并以自底向上的方式解决这些子问题。其核心思想在于：

- **最优子结构：**问题的最优解包含其子问题的最优解。
- **重叠子问题：**子问题可能被重复计算，导致计算效率低下。

# 2. 动态规划的理论基础

### 2.1 动态规划的基本原理

动态规划是一种解决复杂问题的策略，通过将问题分解成更小的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到问题的整体最优解。其基本原理包括：

#### 2.1.1 最优子结构

最优子结构原则指出，一个问题的最优解包含其子问题的最优解。换句话说，如果我们能够找到子问题的最优解，那么我们就可以通过组合这些子问题的最优解来得到整个问题的最优解。

#### 2.1.2 重叠子问题

重叠子问题是指在一个问题中，相同的子问题被重复求解多次。动态规划通过存储子问题的解来避免这种重复计算，从而提高效率。

### 2.2 动态规划的求解过程

动态规划的求解过程通常包括以下三个步骤：

#### 2.2.1 状态定义

首先，我们需要定义问题的状态。状态表示问题中需要跟踪的信息，以求解子问题。状态可以是单个变量或变量的集合。

#### 2.2.2 状态转移方程

接下来，我们需要定义状态转移方程。状态转移方程描述了如何从一个状态转移到另一个状态，以及在转移过程中如何更新状态。

#### 2.2.3 边界条件

最后，我们需要定义边界条件。边界条件指定了当问题规模为 0 或其他特殊值时，问题的解。边界条件通常是显而易见的，但有时也需要通过分析问题来确定。

### 代码示例：

考虑以下代码示例，它使用动态规划求解斐波那契数列：

def fib(n):
    # 状态定义：fib[i] 表示斐波那契数列中第 i 个数
    fib = [0, 1]

    # 状态转移方程：fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]
    for i in range(2, n+1):
        fib.append(fib[i-1] + fib[i-2])

    # 边界条件：fib[0] = 0, fib[1] = 1
    return fib[n]

### 逻辑分析：

该代码使用动态规划求解斐波那契数列。首先，它定义了状态 `fib[i]`，表示斐波那契数列中第 `i` 个数。然后，它使用状态转移方程 `fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]` 来计算每个状态。最后，它使用边界条件 `fib[0] = 0` 和 `fib[1] = 1` 来初始化状态。

### 参数说明：

* `n`: 斐波那契数列中要计算的数的索引。

### 复杂度分析：

该算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是斐波那契数列中要计算的数的索引。这是因为该算法需要遍历从 0 到 n 的所有状态。

# 3.1 背包问题

背包问题是动态规划中一个经典的问题，它描述了一个场景：你有一个背包，容量为 W，有 n 件物品，每件物品的重量为 wi，价值为 vi。你的目标是选择一些物品放入背包，使得背包的总重量不超过 W，且背包中物品的总价值最大。

#### 3.1.1 0-1背包问题

0-1背包问题是最简单的背包问题，它要求每件物品只能选择放或不放，不能放入背包的部分。

**状态定义：**

dp[i][j]：考虑前 i 件物品，背包容量为 j 时，所能获得的最大价值

**状态转移方程：**

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中，dp[i-1][j] 表示不选择第 i 件物品的最大价值，dp[i-1][j-w[i]] + v[i] 表示选择第 i 件物品的最大价值。

**边界条件：**

dp[0][j] = 0
dp[i][0] = 0

**代码实现：**

def knapsack01(weights, values, capacity):
  n = len(weights)
  dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

  for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, capacity + 1):
      if weights[i - 1] <= j:
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1])
      else:
        dp[i][j] = dp[i - 1][j]

  return dp[n][capacity]

#### 3.1.2 完全背包问题

完全背包问题与 0-1背包问题类似，但它允许每件物品可以放入背包多次。

**状态定义：**

dp[i][j]：考虑前 i 件物品，背包容量为 j 时，所能获得的最大价值

**状态转移方程：**

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])

其中，dp[i-1][j] 表示不选择第 i 件物品的最大价值，dp[i][j-w[i]] + v[i] 表示选择第 i 件物品的最大价值。

**边界条件：**

dp[0][j] = 0
dp[i][0] = 0

**代码实现：**

def knapsackComplete(weights, values, capacity):
  n = len(weights)
  dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

  for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, capacity + 1):
      for k in range(1, j // weights[i - 1] + 1):
        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * weights[i - 1]] + k