动态规划实战演练：在真实场景中大显身手

# 1. 动态规划算法简介

动态规划（DP）是一种解决优化问题的算法，它将问题分解成一系列重叠子问题，并使用存储的子问题解来有效地解决整个问题。DP算法的特点包括：

- **自顶向下：**从问题顶层开始，逐层分解子问题，直至得到基本解。
- **自底向上：**从基本解开始，逐层组合子问题解，直至得到最终解。
- **记忆化：**将子问题解存储起来，避免重复计算。

# 2. 动态规划实战应用

### 2.1 背包问题

背包问题是动态规划中最经典的问题之一，它描述了一个场景：给定一个背包容量为`C`，以及`n`件物品，每件物品有自己的重量`w`和价值`v`，求如何选择物品装入背包，使得背包中物品的总价值最大。

#### 2.1.1 0-1背包问题

0-1背包问题是背包问题中最简单的一种，它要求每件物品只能选择装入背包或不装入背包，不能部分装入。

**状态定义：**

dp[i][j] = 前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值

**转移方程：**

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中，`dp[i-1][j]`表示前i-1件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值，`dp[i-1][j-w[i]]`表示前i-1件物品放入容量为j-w[i]的背包中所能获得的最大价值，`v[i]`表示第i件物品的价值，`w[i]`表示第i件物品的重量。

**代码实现：**

def zero_one_backpack(items, capacity):
    n = len(items)
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            if items[i - 1][1] > j:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - items[i - 1][1]] + items[i - 1][0])

    return dp[n][capacity]

**参数说明：**

* `items`：物品列表，每个物品是一个元组`(value, weight)`，其中`value`表示价值，`weight`表示重量。
* `capacity`：背包容量。

**逻辑分析：**

代码首先创建了一个二维数组`dp`，其中`dp[i][j]`表示前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。然后，代码逐行逐列遍历`dp`数组，根据转移方程更新每个位置的值。最后，返回`dp[n][capacity]`，即前n件物品放入容量为capacity的背包中所能获得的最大价值。

#### 2.1.2 完全背包问题

完全背包问题与0-1背包问题类似，但它允许每件物品可以重复装入背包。

**状态定义：**

dp[i][j] = 前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值

**转移方程：**

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])

其中，`dp[i-1][j]`表示前i-1件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值，`dp[i][j-w[i]]`表示前i件物品放入容量为j-w[i]的背包中所能获得的最大价值，`v[i]`表示第i件物品的价值，`w[i]`表示第i件物品的重量。

**代码实现：**

def complete_backpack(items, capacity):
    n = len(items)
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i i