动态规划实战演练:在真实场景中大显身手
发布时间: 2024-08-24 13:45:48 阅读量: 25 订阅数: 38 


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# 1. 动态规划算法简介
动态规划(DP)是一种解决优化问题的算法,它将问题分解成一系列重叠子问题,并使用存储的子问题解来有效地解决整个问题。DP算法的特点包括:
- **自顶向下:**从问题顶层开始,逐层分解子问题,直至得到基本解。
- **自底向上:**从基本解开始,逐层组合子问题解,直至得到最终解。
- **记忆化:**将子问题解存储起来,避免重复计算。
# 2. 动态规划实战应用
### 2.1 背包问题
背包问题是动态规划中最经典的问题之一,它描述了一个场景:给定一个背包容量为`C`,以及`n`件物品,每件物品有自己的重量`w`和价值`v`,求如何选择物品装入背包,使得背包中物品的总价值最大。
#### 2.1.1 0-1背包问题
0-1背包问题是背包问题中最简单的一种,它要求每件物品只能选择装入背包或不装入背包,不能部分装入。
**状态定义:**
```
dp[i][j] = 前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值
```
**转移方程:**
```
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
```
其中,`dp[i-1][j]`表示前i-1件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值,`dp[i-1][j-w[i]]`表示前i-1件物品放入容量为j-w[i]的背包中所能获得的最大价值,`v[i]`表示第i件物品的价值,`w[i]`表示第i件物品的重量。
**代码实现:**
```python
def zero_one_backpack(items, capacity):
n = len(items)
dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, capacity + 1):
if items[i - 1][1] > j:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - items[i - 1][1]] + items[i - 1][0])
return dp[n][capacity]
```
**参数说明:**
* `items`:物品列表,每个物品是一个元组`(value, weight)`,其中`value`表示价值,`weight`表示重量。
* `capacity`:背包容量。
**逻辑分析:**
代码首先创建了一个二维数组`dp`,其中`dp[i][j]`表示前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。然后,代码逐行逐列遍历`dp`数组,根据转移方程更新每个位置的值。最后,返回`dp[n][capacity]`,即前n件物品放入容量为capacity的背包中所能获得的最大价值。
#### 2.1.2 完全背包问题
完全背包问题与0-1背包问题类似,但它允许每件物品可以重复装入背包。
**状态定义:**
```
dp[i][j] = 前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值
```
**转移方程:**
```
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])
```
其中,`dp[i-1][j]`表示前i-1件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值,`dp[i][j-w[i]]`表示前i件物品放入容量为j-w[i]的背包中所能获得的最大价值,`v[i]`表示第i件物品的价值,`w[i]`表示第i件物品的重量。
**代码实现:**
```python
def complete_backpack(items, capacity):
n = len(items)
dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
for i i
```
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