动态规划与贪心算法大比拼：理解算法的异同

# 1. 算法导论

算法是计算机科学的基础，它是一组明确定义的指令，用于解决特定问题。算法导论是算法研究的入门，它提供了算法设计和分析的基本原理。

算法导论主要涵盖以下内容：

* **算法的基本概念：**包括算法的定义、特性、复杂度分析等。
* **算法设计技术：**包括贪心算法、动态规划、分治算法、回溯算法等。
* **算法分析方法：**包括渐近分析、摊还分析、随机化分析等。

算法导论是算法研究人员和从业者的必备读物，它为理解算法的设计、分析和应用奠定了坚实的基础。

# 2. 动态规划算法

动态规划算法是一种自顶向下的求解策略，它将一个复杂问题分解成一系列子问题，并通过逐步解决这些子问题来得到原问题的最优解。动态规划算法的基本原理包括：

### 2.1 动态规划的基本原理

#### 2.1.1 最优子结构

最优子结构是指原问题的最优解包含子问题的最优解。换句话说，如果我们能够找到子问题的最优解，那么我们就可以通过组合这些最优解来得到原问题的最优解。

#### 2.1.2 重叠子问题

重叠子问题是指在求解原问题时，需要多次解决相同的子问题。动态规划算法通过存储子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。

#### 2.1.3 状态定义和转移方程

状态定义是指将子问题用一个状态来表示，例如一个数组或一个哈希表。转移方程是指描述如何从一个状态转移到另一个状态，以及如何计算新状态的值。

### 2.2 动态规划的典型应用

动态规划算法广泛应用于解决各种问题，以下是一些典型的应用场景：

#### 2.2.1 最长公共子序列

最长公共子序列问题是指给定两个字符串，求出这两个字符串的最长公共子序列的长度。最长公共子序列问题可以通过动态规划算法求解，具体步骤如下：

def lcs(s1, s2):
    m, n = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

    return dp[m][n]

**代码逻辑逐行解读：**

1. `m, n = len(s1), len(s2)`：计算字符串 `s1` 和 `s2` 的长度。
2. `dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]`：创建一个二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示字符串 `s1` 的前 `i` 个字符和字符串 `s2` 的前 `j` 个字符的最长公共子序列的长度。
3. `for i in range(1, m + 1):`：遍历字符串 `s1` 的所有字符。
4. `for j in range(1, n + 1):`：遍历字符串 `s2` 的所有字符。
5. `if s1[i - 1] == s2[j - 1]:`：如果字符串 `s1` 的第 `i` 个字符和字符串 `s2` 的第 `j` 个字符相等，则表示找到了一个公共字符。
6. `dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1`：将 `dp[i][j]` 设置为 `dp[i - 1][j - 1]`（前一个状态）加 `1`，表示公共子序列长度增加了 `1`。
7. `else:`：如果字符串 `s1` 的第 `i` 个字符和字符串 `s2` 的第 `j` 个字符不相等，则表示没有找到公共字符。
8. `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])`：将 `dp[i][j]` 设置为 `dp[i - 1][j]`（删除字符串 `s1` 的第 `i` 个字符）和 `dp[i][j - 1]`（删除字符串 `s2` 的第 `j` 个字符）中的最大值，表示公共子序列长度没有增加。
9. `return dp[m][n]`：返回 `dp[m][n]`，即字符串 `s1` 和 `s2` 的最长公共子序列的长度。

#### 2.2.2 背包问题

背包问题是指给定一个背包容量和一组物品，每件物品有自己的重量和价值，求出放入背包中物品的最大总价值。背包问题可以通过动态规划算法求解，具体步骤如下：

def knapsack(W, wt, val, n):
    dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        for w in range(1, W + 1):
            if wt[i - 1] > w:
                dp[i][w] = dp[i - 1][w]