动态规划与线性规划大对决：理解算法的适用范围

# 1. 算法概论与分类

算法是计算机科学的基础，是解决特定问题的一系列明确的指令。算法的分类有很多种，常见的有：

- **按问题类型分类：**贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划算法、线性规划算法等。
- **按数据结构分类：**树算法、图算法、链表算法、数组算法等。
- **按时间复杂度分类：**常数时间复杂度算法、线性时间复杂度算法、平方时间复杂度算法等。

# 2. 动态规划算法的原理与应用

### 2.1 动态规划的定义和基本思想

动态规划是一种自底向上、逐层递推求解问题的算法范式。其基本思想是将原问题分解成一系列子问题，逐步求解子问题，并将子问题的解存储起来，避免重复计算。

**核心概念：**

* **状态：**描述子问题所需的信息。
* **状态转移方程：**描述如何从已知状态推导出新状态。
* **最优子结构：**子问题的最优解包含在原问题的最优解中。

### 2.2 动态规划的递推关系和状态转移方程

递推关系是动态规划的核心，它描述了如何从已知状态推导出新状态。状态转移方程是递推关系的数学表示。

**递推关系的通用形式：**

dp[i] = f(dp[i-1], dp[i-2], ..., dp[1])

其中：

* `dp[i]` 表示状态 `i` 的最优解。
* `f` 是状态转移函数，它根据前序状态计算当前状态的最优解。

### 2.3 动态规划的经典案例分析

#### 2.3.1 最长公共子序列问题

**问题描述：**

给定两个字符串 `s1` 和 `s2`，求出它们的最长公共子序列（LCS），即 `s1` 和 `s2` 中长度最长的公共子串。

**动态规划解法：**

* **状态：**`dp[i][j]` 表示 `s1` 的前 `i` 个字符和 `s2` 的前 `j` 个字符的最长公共子序列长度。
* **状态转移方程：**

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 (if s1[i] == s2[j])
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) (if s1[i] != s2[j])

* **代码实现：**

def lcs(s1, s2):
    m, n = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

    return dp[m][n]

#### 2.3.2 背包问题

**问题描述：**

有 `n` 件物品，每件物品有重量 `w[i]` 和价值 `v[i]`。背包容量为 `C`，求出在不超过背包容量的情况下，如何选择物品装入背包，使得背包中的物品总价值最大。

**动态规划解法：**