几何布朗运动与其他随机过程的对比：理解其独特优势

# 1. 随机过程概述

随机过程是描述随时间或其他参数变化的随机变量序列。它广泛应用于各种领域，包括金融、物理学和生物学。本章将提供随机过程的基本概念，包括其数学定义、类型和性质。

### 1.1 随机过程的数学定义

随机过程是一个定义在概率空间上的函数，其取值是一个可测空间。换句话说，它是一组随机变量，其中每个随机变量对应于时间或其他参数的一个特定值。

### 1.2 随机过程的类型

随机过程可以根据其时间参数和状态空间进行分类。常见的类型包括：

- 离散时间随机过程：时间参数取离散值。
- 连续时间随机过程：时间参数取连续值。
- 马尔可夫过程：未来状态仅取决于当前状态。
- 非马尔可夫过程：未来状态取决于过去的所有状态。

# 2. 几何布朗运动的理论基础

### 2.1 随机过程的数学定义

**定义：**随机过程是一个随着时间或其他参数变化而变化的随机变量。它本质上是一个函数，其自变量是时间或其他参数，因变量是随机变量。

**形式化定义：**设 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 为一个概率空间，$T$ 为索引集（通常是时间或其他参数的集合）。随机过程 $X$ 是从 $T$ 到 $\mathbb{R}$ 的一个映射，使得对于每个 $t \in T$，$X(t)$ 都是一个随机变量。

### 2.2 几何布朗运动的数学模型

几何布朗运动（GBM）是一种连续时间随机过程，其数学模型如下：

dX(t) = \mu X(t) dt + \sigma X(t) dW(t)

其中：

* $X(t)$ 是 GBM 在时间 $t$ 的值
* $\mu$ 是漂移率，表示 GBM 平均每单位时间的变化率
* $\sigma$ 是波动率，表示 GBM 每单位时间的标准差
* $W(t)$ 是标准维纳过程（布朗运动）

### 2.3 几何布朗运动的性质

GBM 具有以下性质：

* **连续性：**GBM 的轨迹是连续的，即对于任何 $t_1$ 和 $t_2$，都有 $X(t_2) = X(t_1) + \int_{t_1}^{t_2} \mu X(t) dt + \int_{t_1}^{t_2} \sigma X(t) dW(t)$。
* **平稳性：**GBM 的分布在时间上是不变的，即对于任何 $t_1$ 和 $t_2$，$X(t_2) - X(t_1)$ 的分布与 $X(t_2 - t_1)$ 的分布相同。
* **马尔可夫性：**GBM 是一个马尔可夫过程，即对于任何 $t_1 < t_2 < t_3$，$X(t_3) | X(t_2)$ 与 $X(t_1)$ 无关。
* **正态分布：**对于任何 $t_1$ 和 $t_2$，$X(t_2) - X(t_1)$ 服从正态分布，其均值为 $\mu (t_2 - t_1)$，方差为 $\sigma^2 (t_2 - t_1)$。

**表格：几何布朗运动的性质**

| 性质 | 描述 |
|---|---|
| 连续性 | GBM 的轨迹是连续的 |
| 平稳性 | GBM 的分布在时间上是不变的 |
| 马尔可夫性 | GBM 是一个马尔可夫过程 |
| 正态分布 | 对于任何 $t_1$ 和 $t