几何布朗运动与金融危机：市场崩溃的幕后推手

# 1. 几何布朗运动简介**

几何布朗运动（GBM）是一种连续时间随机过程，广泛应用于金融建模中。它描述了资产价格在时间上的随机波动，假设价格变化遵循对数正态分布。GBM的数学模型为：

dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dW(t)

其中：

* S(t) 为资产价格
* μ 为漂移率，表示价格的平均增长率
* σ 为波动率，表示价格波动的幅度
* dW(t) 为维纳过程，表示一个连续时间随机过程，其增量服从正态分布

# 2. 几何布朗运动的理论基础

### 2.1 随机过程和维纳过程

**随机过程**

随机过程是一种随时间变化的随机变量序列。它描述了在给定时间范围内一个或多个随机变量的演变。随机过程广泛应用于金融、物理、工程等领域。

**维纳过程**

维纳过程是一种连续时间随机过程，其增量服从正态分布。它以数学家诺伯特·维纳命名。维纳过程具有以下性质：

- 独立增量：任何两个不相交的时间间隔内的增量是独立的。
- 正态分布：任意时间间隔内的增量服从正态分布，均值为 0，方差与时间间隔成正比。
- 连续路径：维纳过程的路径几乎处处连续。

### 2.2 几何布朗运动的数学模型

几何布朗运动 (GBM) 是一个连续时间随机过程，描述了资产价格在连续时间内随时间变化的随机行为。其数学模型为：

dS = μSdt + σSdW

其中：

- `S` 为资产价格
- `μ` 为漂移率，表示资产价格的预期增长率
- `σ` 为波动率，表示资产价格的波动程度
- `dW` 为维纳过程增量

### 2.3 几何布朗运动的性质和应用

**性质**

几何布朗运动具有以下性质：

- 对数正态分布：GBM 的对数收益服从正态分布。
- 平稳性：GBM 的统计性质在时间上保持不变。
- 马尔可夫性：GBM 的未来状态仅取决于当前状态，与过去状态无关。

**应用**

GBM 广泛应用于金融建模中，包括：

- 股票价格建模
- 期权定价
- 风险管理
- 投资组合优化

# 3. 几何布朗运动在金融建模中的应用

### 3.1 股票价格建模

几何布朗运动广泛应用于股票价格建模。它假设股票价格遵循以下随机微分方程：

dS = μSdt + σSdW

其中：

* S 为股票价格
* μ 为股票价格的期望收益率
* σ 为股票价格的波动率
* dW 为维纳过程

通过求解该微分方程，可以得到股票价格的分布，如下：

S(t) = S(0)exp[(μ - σ^2/2)t + σW(t)]

该分布称为对数正态分布，其特点是正偏态，即分布的右尾比左尾更长。

### 3.2 期权定价模型

几何布朗运动在期权定价中也发挥着至关重要的作用。期权是一种