几何布朗运动的扩展：跳跃扩散和随机波动，解锁更多可能

# 1. 几何布朗运动的理论基础**

几何布朗运动（GBM）是一个随机过程，广泛用于金融建模中，描述资产价格随时间的变化。其数学表述如下：

dS = μSdt + σSdW

其中：

* `S` 是资产价格
* `μ` 是漂移率，表示资产价格的长期增长率
* `σ` 是波动率，表示资产价格的波动程度
* `dW` 是维纳过程，表示一个连续时间的白噪声过程

GBM 的主要特点是：

* 资产价格的增量服从正态分布
* 资产价格的期望值呈指数增长
* 资产价格的方差呈线性增长

# 2.1 跳跃扩散模型的数学表述

### 2.1.1 泊松过程和跳跃幅度

泊松过程是一个离散时间随机过程，它描述了在给定时间间隔内发生的事件数。在跳跃扩散模型中，泊松过程用于模拟随机跳跃的发生时间。

泊松过程的概率密度函数为：

P(N(t) = n) = (λt)^n * e^(-λt) / n!

其中：

* N(t) 表示在时间 t 内发生的事件数
* λ 表示泊松过程的强度参数，表示单位时间内发生事件的平均次数

跳跃幅度是指在每次跳跃时资产价格的变化量。跳跃幅度通常假设服从正态分布或对数正态分布。

### 2.1.2 扩散过程和漂移率

扩散过程是一个连续时间随机过程，它描述了资产价格的平滑变化。在跳跃扩散模型中，扩散过程用于模拟资产价格在跳跃之间的连续波动。

扩散过程的随机微分方程为：

dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dW(t)

其中：

* S(t) 表示资产价格
* μ 表示漂移率，表示资产价格的平均增长率
* σ 表示波动率，表示资产价格波动的幅度
* W(t) 表示标准维纳过程

漂移率和波动率可以是常数，也可以是时间的函数或资产价格的函数。

# 3.1 随机波动模型的理论基础

#### 3.1.1 随机波动方程

随机波动方程描述了随机波动过程的演化。它是一个偏微分方程，表示波动率本身是一个随机过程。最常见的随机波动方程是赫斯顿方程：

dS(t) = κ(θ - S(t))dt + σ√S(t)dW(t)

其中：

- `S(t)`