Python监督学习：线性回归、逻辑回归的原理与应用

# 1. 监督学习基础**

监督学习是一种机器学习方法，它使用带标签的数据来训练模型，以便预测新数据的标签。它在许多领域都有应用，例如预测、分类和回归。

监督学习算法的类型有很多，包括线性回归、逻辑回归、决策树和支持向量机。每种算法都有其优点和缺点，选择合适的算法取决于具体问题。

在监督学习中，模型通过学习训练数据中的模式和关系来工作。一旦模型被训练，它就可以用来预测新数据的标签。预测的准确性取决于模型的质量和训练数据的质量。

# 2. 线性回归

### 2.1 线性回归模型

#### 2.1.1 线性回归方程

线性回归是一种用于预测连续型目标变量的监督学习算法。其模型方程为：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn

其中：

* y：目标变量
* β0：截距
* β1, β2, ..., βn：自变量的系数
* x1, x2, ..., xn：自变量

#### 2.1.2 参数估计

线性回归模型的参数（截距和系数）通过最小化残差平方和（RSS）来估计：

RSS = Σ(yi - ŷi)^2

其中：

* yi：真实目标值
* ŷi：预测目标值

最小化 RSS 的过程通常使用梯度下降或牛顿法等优化算法。

### 2.2 线性回归应用

#### 2.2.1 数据预处理

在应用线性回归之前，通常需要对数据进行预处理，包括：

* 缺失值处理：删除或填充缺失值
* 异常值处理：删除或转换异常值
* 标准化或归一化：将特征值缩放至相同范围

#### 2.2.2 模型训练和评估

模型训练过程包括：

1. 将预处理后的数据划分为训练集和测试集
2. 使用训练集训练模型，估计参数
3. 使用测试集评估模型的性能，计算均方误差（MSE）、决定系数（R2）等指标

#### 2.2.3 模型应用

训练好的线性回归模型可用于预测新数据的目标值。预测过程如下：

ŷ = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn

其中，x1, x2, ..., xn 为新数据的自变量值。

**代码块：线性回归模型训练和评估**

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 加载数据
data = pd.read_csv('data.csv')

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data[['x1', 'x2']], data['y'], test_size=0.2)

# 训练模型
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 评估模型
y_pred = model.predict(X_test)
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = r2_score(y_test, y_pred)

print('均方误差：', mse)
print('决定系数：', r2)

**逻辑分析：**

该代码块演示了线性回归模型的训练和评估过程。

* 加载数据并划分训练集和测试集。
* 使用 `LinearRegression` 类训练模型，并估计参数。
* 使用测试集评估模型的性能，计算均方误差（MSE）和决定系数（R2）。

# 3. 逻辑回归**

### 3.1 逻辑回归模型

#### 3.1.1 逻辑回归方程

逻辑回归是一种广义线性模型，用于解决二分类问题。其方程为：

p = 1 / (1 + exp(-(β0 + β1 * x1 + β2 * x2 + ... + βn * xn)))

其中：

* `p` 是事件发生的概率
* `β0` 是截距
* `β1`、`β2`、...、`βn` 是自变量的系数
* `x1`、`x2`、...、`xn` 是自变量的值

逻辑回归方程将自变量的线性组合转换为一个介于 0 和 1 之间的概率值。

#### 3.1.2 参数估计

逻辑回归模型的参数（`β0`、`β1`、...、`βn`）可以通过最大似然估计 (MLE) 方法进行估计。MLE 算法通过找到使似然函数最大的参数值来拟合模