CAD中的Delaunay三角剖分：设计神器，精准无误

# 1. CAD中的Delaunay三角剖分简介

Delaunay三角剖分是一种用于生成三角形网格的数据结构，广泛应用于计算机辅助设计（CAD）中。它将一组点分解成一系列不相交的三角形，使得每个点都位于其三角形的内切圆内。

在CAD建模中，Delaunay三角剖分用于曲面拟合和网格生成。通过将点云或曲线拟合为三角形网格，可以创建平滑且准确的曲面模型。此外，Delaunay三角剖分还可用于有限元分析和仿真，其中三角形网格充当求解偏微分方程的离散域。

# 2. Delaunay 三角剖分的理论基础

### 2.1 Delaunay 三角剖分的定义和性质

**定义：**

Delaunay 三角剖分（DT）是一种平面或更高维空间中的点集的三角剖分，它满足以下性质：

* **空圆性质：**对于 DT 中的任何三角形，它的外接圆不包含任何其他点。
* **最大化最小角：**对于 DT 中的任何三角形，其最小内角大于或等于所有其他三角形的最小内角。

**性质：**

* **唯一性：**给定一组点，存在唯一的 DT。
* **凸包：**DT 的凸包等于点集的凸包。
* **三角形质量：**DT 中的三角形通常具有良好的形状，即它们的内角接近 60 度。

### 2.2 Delaunay 三角剖分的算法实现

**增量式算法：**

增量式算法是构造 DT 的最常见方法，它通过以下步骤逐步构建 DT：

1. 初始化一个空的 DT，只包含一个点。
2. 依次插入剩余的点。
3. 对于每个新插入的点，找到它与 DT 中现有三角形的最近公共边。
4. 将新插入的点与该公共边的两个端点形成一个新三角形。
5. 删除所有被新三角形覆盖的现有三角形。

**代码示例：**

import numpy as np

def incremental_delaunay(points):
    """
    增量式算法构造 Delaunay 三角剖分

    参数：
        points: 点集，形状为 (n, d)

    返回：
        DT: Delaunay 三角剖分，形状为 (m, 3)
    """

    # 初始化 DT
    DT = np.array([[0]])

    # 依次插入点
    for point in points[1:]:
        # 找到最近公共边
        common_edge = find_nearest_common_edge(DT, point)

        # 形成新三角形
        new_triangle = np.array([common_edge[0], common_edge[1], len(DT)])

        # 删除被覆盖的三角形
        DT = np.delete(DT, np.where(np.any(DT == common_edge, axis=1)), axis=0)

        # 添加新三角形
        DT = np.vstack((DT, new_triangle))

    return DT

def find_nearest_common_edge(DT, point):
    """
    找到点到 DT 中现有三角形的最近公共边

    参数：
        DT: Delaunay 三角剖分，形状为 (m, 3)
        point: 点，形状为 (d