鲁棒性分析：让Delaunay三角剖分坚如磐石

# 1. 鲁棒性分析概述

鲁棒性分析是研究算法在输入数据存在误差或噪声的情况下保持正确性的能力。在计算几何中，Delaunay三角剖分是一种广泛使用的算法，用于将点集分解为三角形。然而，由于浮点数运算的固有误差，Delaunay三角剖分在实践中可能会产生不准确的结果。鲁棒性分析旨在评估和提高Delaunay三角剖分在存在误差时的准确性。

# 2. Delaunay 三角剖分的理论基础

### 2.1 Delaunay 三角剖分的定义和性质

**2.1.1 凸包和 Delaunay 三角剖分**

在平面几何中，凸包是指包含给定点集的所有点的最小凸多边形。Delaunay 三角剖分与凸包密切相关，它是由给定点集构造的一个三角形网格，满足以下性质：

* **空圆性质：**每个三角形的内切圆不包含任何其他点。
* **最大化最小角：**在所有可能的三角形剖分中，Delaunay 三角剖分具有最大的最小内角。

### 2.1.2 Delaunay 三角剖分的优越性

Delaunay 三角剖分具有以下优越性：

* **唯一性：**给定一组点，存在唯一一个 Delaunay 三角剖分。
* **局部最优：**每个三角形都是局部最优的，即无法通过局部调整边长或交换顶点来改善三角形质量。
* **鲁棒性：**Delaunay 三角剖分对输入点集的扰动具有鲁棒性，即当输入点集发生轻微变化时，三角剖分不会发生剧烈变化。

### 2.2 Delaunay 三角剖分的算法实现

**2.2.1 增量式算法**

增量式算法通过逐个插入点来构造 Delaunay 三角剖分。算法流程如下：

1. 初始化一个包含所有点的三角形网格。
2. 对于每个新插入的点：
* 找到与新点相交的三角形。
* 将新点与三角形的顶点连接，形成新的三角形。
* 删除与新点相交的边。

**2.2.2 逐点插入算法**

逐点插入算法通过逐个删除点来构造 Delaunay 三角剖分。算法流程如下：

1. 初始化一个包含所有点的三角形网格。
2. 对于每个要删除的点：
* 找到与该点相邻的所有三角形。
* 删除该点和与该点相邻的所有边。
* 使用增量式算法重新三角剖分受影响的区域。

# 3. Delaunay三角剖分的鲁棒性分析

### 3.1 Delaunay三角剖分中的浮点数误差

#### 3.1.1 浮点数运算的误差来源

浮点数是一种近似表示实数的数据类型，它使用有限数量的二进制位来存储数字。由于这种有限的表示，浮点数运算不可避免地会引入误差。这些误差主要来自以下几个方面：

- **舍入误差：**当一个实数无法精确表示为浮点数时，它会被舍入到最接近的浮点数。这种舍入操作会导致误差。
- **截断误差：**当一个实数的尾数（小数部分）超过了浮点数的精度时，它会被截断。这种截断操作也会导致误差。
- **舍入模式：**浮点数的舍入模式决定了当一个实数无法精确表示时，它将如何舍入。不同的舍入模式会产生不同的误差。

#### 3.1.2 误差对Delaunay三角剖分的影响

浮点数误差会对Delaunay三角剖分产生影响，主要表现在以下几个方面：

- **三角形形状畸变：**浮点数误差会导致三角形顶点的坐标发生微小的变化，从而导致三角形形状的畸变。
- **三角形邻接关系改变：**三角形形状的畸变可能会导致三角形邻接关系发生改变，从而影响Delaunay三角剖分的拓扑结构。
- **计算结果不一致：**浮点数误差会导致Delaunay三角剖分的计算结果不一致，即使使用相同的输入数据。

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