计算几何中的Delaunay三角剖分：解决复杂问题的神奇公式

# 1. Delaunay三角剖分的概念和原理**

Delaunay三角剖分是一种空间划分技术，它将一组点集划分为一组不相交的三角形，使得每个三角形的圆心都不包含该三角形外的任何其他点。

Delaunay三角剖分具有以下性质：

* **最大圆空圆：**每个三角形的圆心都不包含该三角形外的任何其他点。
* **局部最优：**对于给定的点集，Delaunay三角剖分是局部最优的，即无法通过局部调整三角形来改善剖分的质量。

# 2. Delaunay三角剖分的算法实现

### 2.1 增量式算法

#### 2.1.1 点的插入

增量式算法是一种逐步构建Delaunay三角剖分的方法，它通过逐个插入点来构造三角剖分。

def insert_point(self, point):
    """
    插入一个点到三角剖分中。

    Args:
        point (Point): 要插入的点。
    """
    # 找到包含点的三角形
    triangle = self.locate_triangle(point)

    # 如果点在三角形内部，则分割三角形
    if triangle.is_inside(point):
        self.split_triangle(triangle, point)
    # 否则，在三角形的外接圆上创建新的三角形
    else:
        self.create_new_triangle(triangle, point)

**代码逻辑逐行解读：**

* `locate_triangle(point)`：找到包含点的三角形。
* 如果点在三角形内部，则调用 `split_triangle(triangle, point)` 分割三角形。
* 否则，调用 `create_new_triangle(triangle, point)` 在三角形的外接圆上创建新的三角形。

#### 2.1.2 三角形的更新

分割三角形后，需要更新受影响的三角形。

def split_triangle(self, triangle, point):
    """
    分割一个三角形。

    Args:
        triangle (Triangle): 要分割的三角形。
        point (Point): 分割点。
    """
    # 创建两个新的三角形
    new_triangle1 = Triangle(triangle.p1, point, triangle.p3)
    new_triangle2 = Triangle(triangle.p2, point, triangle.p3)

    # 删除旧的三角形
    self.triangles.remove(triangle)

    # 添加新的三角形
    self.triangles.add(new_triangle1)
    self.triangles.add(new_triangle2)

    # 更新受影响的边
    self.update_edges(new_triangle1)
    self.update_edges(new_triangle2)

**代码逻辑逐行解读：**

* `update_edges(new_triangle)`：更新与新三角形相邻的边。

### 2.2 扫描线算法

扫描线算法是一种从下往上扫描平面的算法，它通过维护一条扫描线来构造Delaunay三角剖分。

def scanline_algorithm(self, points):
    """
    使用扫描线算法构造Delaunay三角剖分。

    Args:
        points (list[Point]): 输入点集。
    """
    # 对点按 y 坐标排序
    points.sort(key=lambda p: p.y)

    # 初始化扫描线
    scanline = Scanline()

    # 遍历每个点
    for point in points:
        # 处理扫描线上的事件
        scanline.handle_events(point)

        # 更新扫描线
        scanline.update(point)

**代码逻辑逐行解读：**

* `handle_events(point)`：处理扫描线上的事件，包括插入点、删除点和分割三角形。
* `update(point)`：更新扫描线，包括添加新的三角形和更新受影响的三角形。

#### 2.2.1 扫描线的构造

扫描线由一个有序的三角形列表组成，这些三角形按其 y 坐标排序。扫描线维护以下不变式：

* 扫描线上的三角形按其 y 坐标从小到大排列。
* 扫描线上的每个三角形都与扫描线相交。

#### 2.2.2 三角形的生成

当扫描线扫描到一个点时，它会生成一个新的三角形。这个三角形由扫描线上的两个相邻三角