B树与B+树：数据库索引的优化利器

# 1. 索引基础**

索引是数据库中用于快速查找数据的结构，通过创建索引，数据库可以避免对整个表进行全表扫描，从而大幅提高查询效率。索引由键和值组成，键是表中唯一标识记录的列，值是记录在表中的实际数据。

索引的类型有很多，其中最常见的是B树和B+树。B树是一种平衡搜索树，它将数据组织成一个多层的树形结构，每个节点包含多个键和指向子节点的指针。B+树是一种变形的B树，它将所有数据存储在叶子节点中，而内部节点只存储键和指向子节点的指针。

# 2. B树与B+树的理论

### 2.1 B树的结构和算法

B树是一种平衡搜索树，它将数据存储在磁盘块中，每个磁盘块称为一个节点。B树的结构如下：

- **根节点：**B树的根节点只有一个子节点。
- **内部节点：**内部节点有多个子节点，每个子节点存储一个键值范围。
- **叶节点：**叶节点存储实际数据，每个叶节点存储一个键值范围。

B树的插入和删除算法如下：

- **插入：**
- 从根节点开始，找到要插入键值所在的子节点。
- 如果子节点已满，则将其分裂为两个子节点。
- 将键值插入到适当的子节点中。
- 如果根节点分裂，则创建一个新的根节点。

- **删除：**
- 从根节点开始，找到要删除键值所在的子节点。
- 如果子节点中有多个键值，则直接删除该键值。
- 如果子节点中只有一个键值，则将其与相邻的子节点合并。
- 如果根节点只有一个子节点，则将其删除，并将其子节点作为新的根节点。

**代码块：**

class BTreeNode:
    def __init__(self, order):
        self.order = order
        self.keys = []
        self.children = []

def insert(self, key):
    # 找到要插入键值所在的子节点
    idx = bisect.bisect_left(self.keys, key)

    # 如果子节点已满，则将其分裂为两个子节点
    if len(self.keys) == self.order:
        self.split(idx)

    # 将键值插入到适当的子节点中
    self.keys.insert(idx, key)

def split(self, idx):
    # 创建两个新的子节点
    left_node = BTreeNode(self.order)
    right_node = BTreeNode(self.order)

    # 将键值分配到两个子节点中
    left_node.keys = self.keys[:idx]
    right_node.keys = self.keys[idx:]

    # 将子节点分配到两个子节点中
    left_node.children = self.children[:idx+1]
    right_node.children = self.children[idx+1:]

    # 将两个子节点插入到父节点中
    self.children.insert(idx, left_node)
    self.children.insert(idx+1, right_node)

    # 更新父节点的键值
    self.keys = [left_node.keys[-1]]

**逻辑分析：**

- `insert`函数首先找到要插入键值所在的子节点，然后判断该子节点是否已满。
- 如果子节点已满，则将其分裂为两个子节点，并将键值插入到适当的子节点中。
- 如果根节点分裂，则创建一个新的根节点。
- `split`函数将键值和子节点分配到两个新的子节点中，并将两个子节点插入到父节点中。
- 更新父节点的键值，使其包含两个子节点的最后一个键值。

### 2.2 B+树的结构和算法

B+树是一种B树的变体，它将数据存储在叶节点中，内部节点只存储键值。B+树的结构如下：

- **根节点：**B+树的根节点只有一个子节点。
- **内部节点：**内部节点有多个子节点，每个子节点存储一个键值范围。
- **叶节点：**叶节点存储实际数据，每个叶节点存储一个键值范围，并包含指向相邻叶节点的指针。

B+树的插入和删除算法与B树类似，但由于数据只存储在叶节点中，因此插入和删除操作只需要修改叶节点。

**代码块：**

class BPlusTreeNode:
    def __init__(self, order):
        self.order = order
        self.keys = []
        self.children = []
        self.next = None

def insert(self, key):
    # 找到要插入键值所在的子节点
    idx = bisect.bisect_left(self.keys, key)

    # 如果子节点已满，则将其分裂为两个子节点
    if len(self.keys) == self.order:
        self.split(idx)

    # 将键值插入到适当的子节点中
    self.keys.insert(idx, key)

def split(self, idx):
    # 创建两个新的子节点
    left_node = BPlusTreeNode(self.order)
    right_node = BPlusTreeNode(self.order)

    # 将键值分配到两个子节点中
    left_node.keys = self.keys[:idx]
    right_