平衡二叉树与红黑树的区别与应用场景

# 1.1 AVL树

AVL树（Adelson-Velsky和Landis树）是一种高度平衡的二叉搜索树，它通过维护一个平衡因子来确保树的高度平衡。平衡因子是每个节点的左子树和右子树的高度差。AVL树的平衡因子必须在-1、0和1之间。

如果一个节点的平衡因子为-2或2，则该节点不平衡，需要进行旋转操作来恢复平衡。AVL树的旋转操作有两种类型：左旋和右旋。左旋用于将一个节点的右子树旋转到该节点的左子树，右旋用于将一个节点的左子树旋转到该节点的右子树。通过旋转操作，可以将不平衡的节点重新平衡，并保持树的高度平衡。

# 2. 平衡二叉树的理论与实现

### 2.1 平衡二叉树的类型和特性

平衡二叉树是一种高度平衡的二叉搜索树，其中每个节点的左右子树的高度差至多为 1。平衡二叉树的优点在于，它可以保证在最坏情况下，插入、删除和搜索操作的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是树中的节点数。

平衡二叉树有两种主要类型：AVL 树和红黑树。

#### 2.1.1 AVL 树

AVL 树（Adelson-Velsky 和 Landis 树）是一种平衡二叉搜索树，其高度平衡因子（BF）在 -1 和 1 之间。BF 是一个节点的左子树高度减去其右子树高度。

AVL 树的插入和删除算法使用旋转操作来保持树的平衡。旋转操作将一个子树的子树移动到另一个子树中，以调整树的高度和 BF。

#### 2.1.2 红黑树

红黑树是一种平衡二叉搜索树，其节点具有以下性质：

- 每个节点要么是红色，要么是黑色。
- 根节点是黑色。
- 每个叶节点（NIL）是黑色。
- 每个红色节点的两个子节点都是黑色。
- 从任何节点到其后代 NIL 节点的所有路径都包含相同数量的黑色节点。

红黑树的插入和删除算法使用旋转和重新着色操作来保持树的平衡和性质。

### 2.2 平衡二叉树的插入和删除算法

#### 2.2.1 AVL 树的插入算法

AVL 树的插入算法如下：

1. 像普通二叉搜索树一样插入新节点。
2. 从新节点向上遍历树，更新每个祖先节点的 BF。
3. 如果某个祖先节点的 BF 绝对值大于 1，则执行旋转操作以平衡树。

**代码块：**

def insert_avl(root, key):
    if root is None:
        return Node(key)

    if key < root.key:
        root.left = insert_avl(root.left, key)
    else:
        root.right = insert_avl(root.right, key)

    root.height = max(get_height(root.left), get_height(root.right)) + 1
    root.bf = get_balance_factor(root)

    if abs(root.bf) > 1:
        root = balance_avl(root)

    return root

**逻辑分析：**

* 该函数递归地将新节点插入树中，就像普通的二叉搜索树一样。
* 插入后，它更新祖先节点的 BF 和高度。
* 如果某个祖先节点的 BF 绝对值大于 1，则调用 `balance_avl()` 函数执行旋转操作以平衡树。

#### 2.2.2 红黑树的删除算法

红黑树的删除算法如下：

1. 像普通二叉搜索树一样删除节点。
2. 如果删除的节点是红色，则无需进一步操作。
3. 如果删除的节点是黑色，则执行以下步骤：
- 如果删除的节点的子节点都是黑色，则将该节点的父节点着色为红色。
- 如果删除的节点有一个红色子节点，则执行旋转操作以平衡树。
- 如果删除的节点的两个子节点都是红色，则将删除的节点的父节点着色为黑色，并将其两个子节点着色为红色。

**代码块：**

def delete_rb(root, key):
    if root is None:
        return None

    if key < root.key:
        root.left = delete_rb(root.left, key)
    elif key > root.key:
        root.right = delete_rb(root.right, key)
    else:
        if root.left is None:
            return root.right
        elif root.right is None:
            return root.left

        # 找到左子树的最大节点
        max_node = root.left
        while max_node.right is not None:
            max_node = max_node.right

        # 替换根节点的值
        root.key = max_node.key

        # 从左子树中删除最大节点
        root.left = delete