堆在图算法中的魔法:最小生成树与迪杰斯特拉算法
发布时间: 2024-08-24 01:02:51 阅读量: 22 订阅数: 18
# 1. 图算法概述**
图算法是一类用于解决图论问题的算法。图论是数学的一个分支,它研究由节点和边组成的结构,称为图。图算法在计算机科学中广泛应用,例如:网络规划、路径规划和数据挖掘。
图算法的基本概念包括:
* **图:**由节点和边组成的结构。节点表示实体,边表示实体之间的关系。
* **节点:**图中的基本元素,表示实体。
* **边:**连接两个节点的线段,表示实体之间的关系。
* **权重:**边上的值,表示边与之关联的成本或距离。
# 2. 最小生成树算法
最小生成树算法是一种贪心算法,用于在给定带权无向图中找到一个权值最小的生成树。生成树是指包含图中所有顶点的连通子图,且不包含任何环。
### 2.1 克鲁斯卡尔算法
#### 2.1.1 算法原理
克鲁斯卡尔算法通过以下步骤构造最小生成树:
1. 将图中的所有边按照权值从小到大排序。
2. 从权值最小的边开始,依次考虑每条边。
3. 如果添加该边不会形成环,则将该边加入生成树。
4. 重复步骤 3,直到生成树包含图中所有顶点。
#### 2.1.2 代码实现
```python
def kruskal(graph):
# 初始化并查集
parent = [i for i in range(len(graph))]
rank = [0 for i in range(len(graph))]
# 按权值排序边
edges = sorted(graph.edges, key=lambda edge: edge.weight)
# 构造最小生成树
mst = []
for edge in edges:
if find(parent, edge.u) != find(parent, edge.v):
union(parent, rank, edge.u, edge.v)
mst.append(edge)
return mst
# 并查集:查找根节点
def find(parent, node):
if parent[node] == node:
return node
return find(parent, parent[node])
# 并查集:合并两个集合
def union(parent, rank, u, v):
u_root = find(parent, u)
v_root = find(parent, v)
if u_root == v_root:
return
if rank[u_root] < rank[v_root]:
parent[u_root] = v_root
else:
parent[v_root] = u_root
if rank[u_root] == rank[v_root]:
rank[u_root] += 1
```
**逻辑分析:**
* `find()` 函数使用递归查找节点的根节点。
* `union()` 函数使用并查集合并两个集合,并更新秩。
* `kruskal()` 函数按权值排序边,并使用并查集贪心地构造最小生成树。
### 2.2 普里姆算法
#### 2.2.1 算法原理
普里姆算法通过以下步骤构造最小生成树:
1. 选择一个顶点作为起始点。
2. 从起始点出发,找到权值最小的边连接到未包含在生成树中的顶点。
3. 将该边加入生成树。
4. 重复步骤 2 和 3,直到生成树包含图中所有顶点。
#### 2.2.2 代码实现
```python
def prim(graph, start):
# 初始化
visited = [False for i in range(len(graph))]
visited[start] = True
mst = []
# 循环添加边
while len(mst) < len(graph) - 1:
# 找到权值最小的边
min_edge = None
for u in range(len(graph)):
if visited[u]:
```
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