支持向量回归：解决高维非线性回归难题

# 1. 支持向量回归的基本原理**

支持向量回归（SVR）是一种监督机器学习算法，用于解决高维非线性回归问题。它基于支持向量机（SVM）原理，通过映射数据到更高维度的特征空间，将非线性问题转换为线性问题。

SVR的目标是找到一个超平面，将数据点分隔成两部分，使得超平面与两部分数据点的距离最大。这个超平面称为最大间隔超平面。SVR通过引入松弛变量来处理不可分数据，允许一定程度的误差。

# 2. 支持向量回归的算法实现

### 2.1 核函数的选择

核函数是支持向量回归的核心，它将低维输入空间映射到高维特征空间，从而使得非线性问题在高维空间中线性可分。常用的核函数包括：

#### 2.1.1 线性核

def linear_kernel(x1, x2):
    """线性核函数
    Args:
        x1 (ndarray): 第一个数据点
        x2 (ndarray): 第二个数据点
    Returns:
        float: 核函数值
    """
    return np.dot(x1, x2)

**逻辑分析：** 线性核函数直接计算两个数据点之间的点积，适用于线性可分的回归问题。

#### 2.1.2 多项式核

def polynomial_kernel(x1, x2, degree=3):
    """多项式核函数
    Args:
        x1 (ndarray): 第一个数据点
        x2 (ndarray): 第二个数据点
        degree (int): 多项式次数
    Returns:
        float: 核函数值
    """
    return (np.dot(x1, x2) + 1) ** degree

**逻辑分析：** 多项式核函数将数据点映射到多项式特征空间，适用于非线性可分的回归问题。

#### 2.1.3 高斯核

def gaussian_kernel(x1, x2, gamma=1):
    """高斯核函数
    Args:
        x1 (ndarray): 第一个数据点
        x2 (ndarray): 第二个数据点
        gamma (float): 高斯核参数
    Returns:
        float: 核函数值
    """
    return np.exp(-gamma * np.linalg.norm(x1 - x2) ** 2)

**逻辑分析：** 高斯核函数将数据点映射到无穷维希尔伯特空间，适用于高维非线性回归问题。

### 2.2 参数优化

支持向量回归的性能受核函数和正则化参数 C 的影响。参数优化旨在找到最佳参数组合，以提高模型的泛化能力。

#### 2.2.1 交叉验证

交叉验证是一种用于模型评估和参数优化的技术。它将数据集划分为多个子集，依次使用每个子集作为测试集，其余子集作为训练集，并计算模型的平均性能。

#### 2.2.2 网格搜索

网格搜索是一种参数优化方法，它在给定的参数范围内遍历所有可能的参数组合，并选择性能最佳的组合。

### 2.3 模型评估

支持向量回归模型的评估指标包括：

#### 2.3.1 均方根误差 (RMSE)

def rmse(y_true, y_pred):
    """均方根误差
    Args:
        y_true (ndarray): 真实值
        y_pred (ndarray): 预测值
    Returns:
        float: 均方根误差
    """
    return