图论算法实战：图的表示与遍历算法的性能调优

# 1. 图论基础**

图论是计算机科学中研究图结构及其相关算法的学科。图是一种数据结构，由一组顶点和连接这些顶点的边组成。图论算法用于解决各种实际问题，例如：

* 路径查找
* 连通性分析
* 最小生成树计算
* 最短路径计算

图论基础包括图的基本概念、图的表示方法和图的遍历算法。

# 2. 图的表示

图的表示是图论算法的基础，它决定了算法的效率和适用范围。本章节将介绍两种常用的图表示方式：邻接矩阵和邻接表，并分析它们的优缺点和适用场景。

### 2.1 邻接矩阵

邻接矩阵是一种使用二维数组来表示图的方式。其中，矩阵的元素表示图中两个顶点之间的边权重。如果图中不存在边，则对应的矩阵元素为 0。

**优点：**

* 查询边权重方便，时间复杂度为 O(1)。
* 适用于稠密图（边数与顶点数的平方成正比），因为矩阵中大多数元素都是非零的。

**缺点：**

* 存储空间开销大，对于稀疏图（边数远小于顶点数的平方）来说，浪费空间。
* 对于动态图（边经常增加或删除），更新矩阵成本较高。

**代码示例：**

# 创建一个邻接矩阵
adj_matrix = [[0, 1, 0],
               [1, 0, 1],
               [0, 1, 0]]

# 查询边权重
weight = adj_matrix[0][1]  # 输出：1

### 2.2 邻接表

邻接表是一种使用链表来表示图的方式。每个链表对应一个顶点，链表中的元素表示与该顶点相邻的顶点。

**优点：**

* 存储空间开销小，适用于稀疏图。
* 对于动态图，更新链表成本较低。

**缺点：**

* 查询边权重需要遍历链表，时间复杂度为 O(n)，其中 n 是与该顶点相邻的顶点数。
* 适用于稀疏图，对于稠密图来说，链表会非常长，影响效率。

**代码示例：**

# 创建一个邻接表
adj_list = [[] for _ in range(3)]
adj_list[0].append((1, 1))
adj_list[1].append((0, 1))
adj_list[1].append((2, 1))
adj_list[2].append((1, 1))

# 查询边权重
for neighbor in adj_list[0]:
    if neighbor[0] == 1:
        weight = neighbor[1]  # 输出：1

### 2.3 稀疏图的表示

对于稀疏图，邻接表是一种更有效的表示方式。可以通过使用稀疏矩阵（例如 Compressed Sparse Row (CSR) 格式）来进一步优化邻接表的存储空间开销。

**CSR 格式：**

CSR 格式使用三个数组来表示稀疏矩阵：

* `values`：存储非零元素的值。
* `row_ptr`：存储每行非零元素的起始位置。
* `col_ind`：存储非零元素的列索引。

**优点：**

* 存储空间开销更小，对于稀疏图来说，可以节省大量空间。
* 查询边权重仍然是 O(1) 的时间复杂度。

**代码示例：**

# 创建一个 CSR 格式的稀疏矩阵
values = [1]
row_ptr = [0, 1]
col_ind = [1]

# 查询边权重
weight = values[row_ptr[0]]  # 输出：1

**表格：图的表示方式对比**

| 表示方式 | 存储空间开销 | 查询边权重时间复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 邻接矩阵 | O(V^2) | O(1) | 稠密图 |
| 邻接表 | O(V + E) | O(n) | 稀疏图 |
| CSR 格式 | O(V + E) | O(1) | 稀疏图 |

# 3. 图的遍历算法

图的遍历算法是图论中重要的基础算法，用于访问图中的所有顶点或边。本章将介绍深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）这两种基本遍历算法，并分析它们的性能和应用场景。

### 3.1 深度优先搜索（DFS）

#### 3.1.1 DFS 的基本原理

深度优先搜索（DFS）是一种沿着深度优先的原则遍历图的算法。具体来说，DFS 从图中的一个顶点开始，沿着一条路径一直向下探索，直到遇到死胡同（即没有未访问过的邻接顶点）。然后，DFS 回溯到最近的未访问过的邻接顶点，继续沿着另一条路径向下探索。

DFS 的基本原理可以用递归或非递归的方式实现。递归实现使用函数调用来实现深度优先的探索，而非递归实现使用栈数据结构来模拟递归过程。

#### 3.1.2 DFS 的递归和非递归实现

**递归实现：**

def dfs_recursive(graph, start_vertex):
    visited = set()  # 已访问过的顶点集合
    dfs_visit(graph, start_vertex, visited)

def dfs_visit(graph, vertex, visited):
    visited.add(vertex)
    for neighbor in graph[vertex]:
        if neighbor not in visited:
            dfs_visit(graph, neighbor, visited)

**非递归实现：**

def dfs_non_recursive(graph, start_vertex):
    visited = set()  # 已访问过的顶点集合
    stack = [start_vertex]  # 栈数据结构

    while stack:
        vertex = stack.pop()
        if vertex not in visited:
            visited.add(vertex)
            for neighbor in graph[vertex]:
                if neighbor not in visited:
                    stack.append(neighbor)

### 3.2 广度优先搜索（BFS）

#### 3.2.1