图论算法实战：图的表示与遍历算法的行业应用

# 1. 图论基础**

图论是计算机科学中研究图结构及其算法的一门学科。图是一种数据结构，它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。图论算法用于解决各种问题，例如路径查找、连通性分析和图着色。

**图的定义**

图 G=(V, E) 由一组顶点 V 和一组边 E 组成，其中 V={v1, v2, ..., vn}，E={e1, e2, ..., em}。边 e=(vi, vj) 表示顶点 vi 和 vj 之间存在连接。

# 2. 图的表示与存储

### 2.1 邻接矩阵

邻接矩阵是一种表示图结构的数据结构，其中每个元素 `a[i][j]` 表示顶点 `i` 和顶点 `j` 之间的边权重。对于无向图，邻接矩阵是对称的，而对于有向图，邻接矩阵则是非对称的。

**优点：**

- 查询边权重方便，时间复杂度为 O(1)。
- 适用于边密度较大的稠密图。

**缺点：**

- 存储空间复杂度高，对于稀疏图来说会浪费大量空间。
- 不适用于边密度较小的稀疏图。

**代码示例：**

import numpy as np

class AdjacencyMatrix:
    def __init__(self, num_vertices):
        self.num_vertices = num_vertices
        self.matrix = np.zeros((num_vertices, num_vertices))

    def add_edge(self, u, v, weight):
        self.matrix[u][v] = weight

    def get_weight(self, u, v):
        return self.matrix[u][v]

### 2.2 邻接表

邻接表是一种表示图结构的数据结构，其中每个顶点对应一个链表，链表中的每个节点表示与该顶点相邻的边。

**优点：**

- 存储空间复杂度低，适用于边密度较小的稀疏图。
- 遍历所有与某个顶点相邻的边非常方便。

**缺点：**

- 查询边权重需要遍历链表，时间复杂度为 O(E)，其中 E 是图中的边数。
- 不适用于边密度较大的稠密图。

**代码示例：**

class AdjacencyList:
    def __init__(self, num_vertices):
        self.num_vertices = num_vertices
        self.adj_list = [[] for _ in range(num_vertices)]

    def add_edge(self, u, v, weight):
        self.adj_list[u].append((v, weight))

    def get_neighbors(self, u):
        return self.adj_list[u]

### 2.3 邻接多重表

邻接多重表是一种表示图结构的数据结构，它类似于邻接表，但允许顶点之间存在多条边。

**优点：**

- 适用于表示具有多重边的图。
- 遍历所有与某个顶点相邻的边非常方便。

**缺点：**

- 存储空间复杂度高于邻接表。
- 查询边权重需要遍历链表，时间复杂度为 O(E)，其中 E 是图中的边数。

**代码示例：**

class AdjacencyMultilist:
    def __init__(self, num_vertices):
        self.num_vertices = num_vertices
        self.adj_list = [[] for _ in range(num_vertices)]

    def add_edge(self, u, v, weight):
        self.adj_list[u].append((v, weight))

    def get_neighbors(self, u):
        return self.adj_list[u]

### 2.4 邻接链表

邻接链表是一种表示图