深度优先搜索与广度优先搜索：图论算法实战的权威指南

.png)
# 1. 图论基础**

图论是计算机科学中研究图结构及其相关算法的学科。图是由顶点和边组成的，其中顶点表示实体，边表示实体之间的关系。图论在现实世界中有着广泛的应用，例如社交网络、交通网络和分子结构。

图论中的基本概念包括：

- **顶点：**图中表示实体的点。
- **边：**图中表示实体之间关系的线段。
- **度：**顶点相连的边的数量。
- **权重：**边的长度或其他属性。
- **路径：**顶点之间的连接序列。
- **连通性：**图中任意两个顶点之间是否存在路径。

# 2. 深度优先搜索（DFS）

### 2.1 DFS 的基本原理

深度优先搜索（DFS）是一种遍历图的算法，它以深度优先的方式探索图中的节点。DFS 从起始节点开始，沿着一條路径深度优先地探索，直到无法继续探索为止，然后回溯到上一个未探索的节点，继续进行深度优先探索。

DFS 的基本原理可以总结为：

* 从起始节点开始，标记为已访问。
* 访问该节点的所有未访问的相邻节点。
* 重复步骤 2，直到所有相邻节点都已访问。
* 如果还有未访问的节点，则回溯到上一个未访问的节点，并从该节点继续进行深度优先探索。

### 2.2 DFS 的实现和应用

#### 2.2.1 递归实现

DFS 可以使用递归来实现。递归函数 `dfs` 接受一个节点作为参数，并执行以下操作：

def dfs(node):
    # 标记节点为已访问
    node.visited = True

    # 访问该节点的所有未访问的相邻节点
    for neighbor in node.neighbors:
        if not neighbor.visited:
            dfs(neighbor)

#### 2.2.2 栈实现

DFS 也可以使用栈来实现。栈是一种后进先出的数据结构，它可以用来跟踪未访问的节点。

def dfs_stack(node):
    # 创建一个栈，并压入起始节点
    stack = [node]

    # 只要栈不为空，就继续探索
    while stack:
        # 弹出栈顶节点
        node = stack.pop()

        # 标记节点为已访问
        node.visited = True

        # 访问该节点的所有未访问的相邻节点
        for neighbor in node.neighbors:
            if not neighbor.visited:
                stack.append(neighbor)

#### 2.2.3 应用示例：连通性检测、环检测

DFS 可以用于解决各种图论问题，例如：

* **连通性检测：**DFS 可以用来确定图中哪些节点是连通的。
* **环检测：**DFS 可以用来检测图中是否存在环。

**连通性检测代码示例：**

def is_connected(graph):
    # 标记所有节点为未访问
    for node in graph.nodes:
        node.visited = False

    # 从起始节点开始进行 DFS
    dfs(graph.start_node)

    # 检查所有节点是否已访问
    for node in graph.nodes:
        if not node.visited:
            return False

    return True

**环检测代码示例：**

def has_cycle(graph):
    # 标记所有节点为未访问
    for node in graph.nodes:
        node.visited = False
        node.parent = None

    # 从起始节点开始进行 DFS
    if dfs_cycle(graph.start_node):
        return True

    return False

def dfs_cycle(node):
    # 标记节点为已访问
    node.visited = True

    # 访问该节点的所有未访问的相邻节点
    for neighbor in node.neighbors:
        if not neighbor.visited:
            if dfs_cycle(neighbor):
                return True
        elif neighbor.parent != node:
            return True

    return False

# 3. 广度优先搜索（BFS）

### 3.1 BFS 的基本原理

广度优先搜索（BFS）是一种图论算法，用于遍历图中的所有节点，其核心思想是逐层探索，先访问当前节点的相邻节点，再访问相邻节点的相邻节点，依次类推。

与深度优先搜索（DFS）不同，BFS 采用队列数据结构来存储待访问的节点，队列遵循先进先出（FIFO）原则。算法从起始节点开始，将其入队，然后依次出队并访问队列中的节点，同时将该节点的所有未访问过的相邻节点入队。

### 3.2 BFS 的实现和应用

#### 3.2.1 队列实现

BFS 的队列实现如下：

def bfs(graph, start):
    """