调度问题轻松搞定！模拟退火算法的任务分配与资源优化

# 1. 模拟退火算法概述

模拟退火算法（SA）是一种基于物理退火过程的全局优化算法。其灵感来自于固体材料的退火过程，在退火过程中，材料通过缓慢降温的方式达到最低能量状态。

SA算法模拟了退火过程，将优化问题转化为能量最小化问题。算法从一个初始解开始，通过随机扰动产生新的解，并根据新解的能量（目标函数值）和当前解的能量进行比较。如果新解的能量更低，则接受新解；如果新解的能量更高，则以一定概率接受新解，该概率随着算法的进行而逐渐减小。通过这种方式，SA算法能够跳出局部最优解，找到全局最优解。

# 2. 模拟退火算法在任务分配中的应用

### 2.1 任务分配问题的数学模型

任务分配问题可以抽象为一个数学模型，其中：

- **任务集合**：$T = \{t_1, t_2, ..., t_n\}$，其中 $n$ 为任务数量。
- **资源集合**：$R = \{r_1, r_2, ..., r_m\}$，其中 $m$ 为资源数量。
- **任务-资源分配矩阵**：$A = [a_{ij}]_{n \times m}$，其中 $a_{ij} = 1$ 表示任务 $t_i$ 分配给资源 $r_j$，否则为 $0$。
- **任务执行时间**：$p_{ij}$，表示任务 $t_i$ 在资源 $r_j$ 上的执行时间。
- **资源容量**：$c_j$，表示资源 $r_j$ 的容量限制。

任务分配问题的目标是找到一个分配方案，使得所有任务都能被分配给资源，并且满足以下约束：

- **容量约束**：对于每个资源 $r_j$，分配给它的任务执行时间之和不能超过其容量 $c_j$，即：

   \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot p_{ij} \leq c_j, \quad \forall j = 1, 2, ..., m

- **分配约束**：每个任务只能分配给一个资源，即：

   \sum_{j=1}^{m} a_{ij} = 1, \quad \forall i = 1, 2, ..., n

### 2.2 模拟退火算法的原理和流程

模拟退火算法是一种基于统计学原理的全局优化算法，其灵感来自于金属退火过程。金属退火过程中，金属被加热到高温，然后缓慢冷却，在这个过程中，金属内部的原子会不断重新排列，最终达到一个低能量状态。

模拟退火算法模拟了这一过程，它将优化问题视为一个能量函数，然后通过不断调整解决方案来降低能量，最终找到一个全局最优解。模拟退火算法的流程如下：

1. **初始化**：随机生成一个初始解 $s_0$，并计算其能量 $E(s_0)$。
2. **生成邻域解**：从当前解 $s_i$ 随机生成一个邻域解 $s_{i+1}$。
3. **计算能量差**：计算邻域解 $s_{i+1}$ 的能量差 $\Delta E = E(s_{i+1}) - E(s_i)$。
4. **接受或拒绝**：
- 如果 $\Delta E < 0$，则接受邻域解 $s_{i+1}$，并更新当前解为 $s_{i+1}$。
- 如果 $\Delta E \geq 0$，则以概率 $e^{-\Delta E/T}$ 接受邻域解 $s_{i+1}$，其中 $T$ 为当前温度。
5. **更新温度**：根据退火速率降低温度 $T$。
6. **重复**：重复步骤 2-5，直到达到停止条件（如达到最大迭代次数或温度降至足够低）。

### 2.3 模拟退火算法在任务分配中的实现

将模拟退火算法应用于任务分配问题，需要定义以下内容：

- **解空间**：解空间由所有满足容量约束和分配约束的分配方案组成。
- **能量函数**：能量函数定义为分配方案的总执行时间，即：

   E(s) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} \cdot p_{ij}

- **邻域生成**：邻域生成方法可以采用随机交换任务或随机重新分配任务等策略。
- **退火速率**：退火速率决定了温度降低的速度，通常采用指数衰减或线性衰减策略。

以下代码展示了模拟退火算法在任务分配中的实现：

import random
import math

def simulated_annealing(tasks, resources, capacity, max_iter, init_temp, cooling_rate):
    """
    模拟退火算法求解任务分配问题

    参数：
        tasks: 任务集合
        resources: 资源集合
        capacity: 资源容量
        max_iter: 最大迭代次数
        init_temp: 初始温度
        cooling_rate: 退火速率

    返回：
        最优分配方案
    """

    # 初始化
    current_solution = random_solution(tasks, resources, capacity)
    current_energy = evaluate_solution(current_solution)
    best_solution