矩阵运算在计算机图形学中的重要性：构建虚拟世界的数学基石

# 1. 矩阵运算基础

矩阵运算在计算机图形学中扮演着至关重要的角色，它提供了对几何图形进行变换、投影和视口转换的数学基础。本章将介绍矩阵运算的基本概念，包括矩阵的定义、运算和性质。

矩阵是一种矩形数组，由元素排列而成。矩阵运算涉及对这些元素进行各种操作，例如加法、减法、乘法和转置。矩阵的性质，例如可逆性和行列式，对于理解矩阵运算在计算机图形学中的应用至关重要。

# 2. 矩阵运算在计算机图形学中的应用

### 2.1 几何变换

几何变换是计算机图形学中对物体进行操作和转换的基本技术。通过矩阵运算，我们可以对物体进行平移、旋转和缩放等变换，从而实现各种视觉效果。

#### 2.1.1 平移变换

平移变换将物体沿指定方向移动一定距离。其变换矩阵如下：

T = [1 0 0 Tx]
    [0 1 0 Ty]
    [0 0 1 Tz]
    [0 0 0 1]

其中，`Tx`、`Ty`、`Tz` 分别表示沿 x、y、z 轴的平移距离。

**代码块：**

import numpy as np

# 定义平移向量
Tx = 10
Ty = 20
Tz = 30

# 构建平移矩阵
T = np.array([[1, 0, 0, Tx],
              [0, 1, 0, Ty],
              [0, 0, 1, Tz],
              [0, 0, 0, 1]])

# 应用平移变换
vertices = np.array([[1, 2, 3],
                     [4, 5, 6],
                     [7, 8, 9]])

transformed_vertices = np.dot(T, vertices.T).T

# 输出变换后的顶点坐标
print(transformed_vertices)

**逻辑分析：**

* `numpy.dot()` 函数用于执行矩阵乘法。
* `vertices.T` 将顶点坐标从行向量转置为列向量，以便与平移矩阵相乘。
* `transformed_vertices` 存储了变换后的顶点坐标。

#### 2.1.2 旋转变换

旋转变换将物体绕指定轴旋转一定角度。其变换矩阵如下：

**绕 x 轴旋转：**

Rx = [1 0 0 0]
    [0 cos(theta) -sin(theta) 0]
    [0 sin(theta) cos(theta) 0]
    [0 0 0 1]

**绕 y 轴旋转：**

Ry = [cos(theta) 0 sin(theta) 0]
    [0 1 0 0]
    [-sin(theta) 0 cos(theta) 0]
    [0 0 0 1]

**绕 z 轴旋转：**

Rz = [cos(theta) -sin(theta) 0 0]
    [sin(theta) cos(theta) 0 0]
    [0 0 1 0]
    [0 0 0 1]

其中，`theta` 表示旋转角度。

**代码块：**

import numpy as np
import math

# 定义旋转角度
theta_x = math.radians(30)
theta_y = math.radians(45)
theta_z = math.radians(60)

# 构建旋转矩阵
Rx = np.array([[1, 0, 0, 0],
              [0, np.cos(theta_x), -np.sin(theta_x), 0],
              [0, np.sin(theta_x), np.cos(theta_x), 0],
              [0, 0, 0, 1]])

Ry = np.array([[np.cos(theta_y), 0, np.sin(theta_y), 0],
              [0, 1, 0, 0],
              [-np.sin(theta_y), 0, np.cos(theta_y), 0],
              [0, 0, 0, 1]])

Rz = np.array([[np.cos(theta_z), -np.sin(theta_z), 0, 0],
              [np.sin(theta_z), np.cos(theta_z), 0, 0],
              [0, 0, 1, 0],
              [0, 0, 0, 1]])

# 应用旋转变换
vertices = np.array([[1, 2, 3],
                     [4, 5, 6],
                     [7, 8, 9]])

transformed_vertices = np.dot(Rz, np.dot(Ry, np.dot(Rx, vertices.T))).T

# 输出变换后的顶点坐标
print(transformed_vertices)

**逻辑分析：**

* `math.radians()` 函数将角度从度数转换为弧度。
* 旋转矩阵按照绕 z 轴、y 轴、x 轴的顺序相乘，实现复合旋转。
* `transformed_vertices` 存储了变换后的顶点坐标。

#### 2.1.3 缩放变换

缩放变换将物体沿指定方向放大或缩小。其变换矩阵如下：

S = [Sx 0 0 0]
    [0 Sy 0 0]