局部投影法改进的非线性Navier-Stokes方程稳定化有限元

本文探讨的是"Navier-Stokes方程的局部投影稳定化方法"，发表于2010年，由覃燕梅、冯民富、罗鲲和吴开腾四位作者共同完成，他们在四川省高等学校数值仿真重点实验室、内江师范学院数学与信息科学学院以及四川大学数学学院的研究背景下展开研究。论文的核心内容是对经典的Navier-Stokes方程，特别是不可压缩定常情况下的非线性方程，提出了一种新颖的局部投影稳定化有限元方法。 传统的Galerkin有限元逼近方法在处理Navier-Stokes方程时遇到两大挑战：首先，需要满足速度/压力的inf-sup稳定性条件；其次，在Reynolds数较大时，对流效应显著，可能导致有限元解的不稳定振荡。为解决这些问题，作者借鉴了SUPG方法，但这类方法引入的稳定化项是非线性的，并且涉及二阶导数的计算，增加了复杂性。 论文的重点转向了非残差稳定化方法，尤其是局部投影稳定化方法。这种方法的优势在于避免了对二阶导数的计算，简化了稳定化格式，对于处理对流占优问题更为有效。论文中的局部投影空间设计十分灵活，可以适应不同网格或同一网格，相比于其他两级方法，它提供了更为紧凑的结构。 除了使用bubble函数增强逼近空间外，作者还提出了两种新的空间，无需额外的bubble函数就能增强稳定性。通过一种特殊的插值技巧，作者进行了稳定性分析和误差估计，展示了这种方法的理论基础。最后，通过两个数值算例，作者验证了理论结果的准确性和实用性。 这篇论文在Navier-Stokes方程的数值模拟中引入了创新的局部投影稳定化策略，有效地解决了传统方法中的问题，为数值求解不可压缩定常Navier-Stokes方程提供了一个有效的数值工具，具有重要的理论价值和实际应用前景。