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类型λ-演算与高阶匹配:应用、验证与模型理论
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更新于2024-06-17
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"验证技术:类型λ-演算与高阶匹配的应用"这篇论文探讨了在理论计算机科学领域中的一个重要课题,即如何将传统的计算机辅助验证方法,如模型检验和等价性检验,扩展到具有约束的有限和无限状态系统。文章主要关注的是类型λ-演算,这是一种形式化的数学逻辑语言,用于描述函数式编程中的函数和类型结构。 类型λ-演算是通过λ-项来表示的,这些项被看作是具有绑定结构的对象,类似于转换图。在不依赖于替换操作的情况下,作者通过游戏的视角理解λ-项的动力学行为。在匹配的上下文中,论文讨论了一个潜在解项t的模型检验博弈,该博弈决定了t是否为有效解。为了将问题转化为匹配决策过程,作者强调了小模型属性的重要性,即存在小解的情况表明问题有解。 在解决方案的处理上,文章引入了方案模型检查游戏,这是根据Ong的工作进行定义的,但更侧重于匹配游戏的概念。作者在接下来的章节中深入阐述了高阶匹配,这是一个涉及到二元箭头操作符的复杂类型系统,可以从基础类型0生成其他类型。类型系统中,类型被定义为0或A→B,其中A和B可以是更复杂的类型结构。 文章还涉及到了对偶插值,这是一个与匹配问题相关的概念,可能用于证明某些类型的有效性或不等价性。匹配博弈在第三部分被明确定义,而四、五章则分别探讨了在三阶情况下问题的可判定性以及高阶格式的具体细节。最后,第六节讨论了与这些高级类型匹配相关的对策,即策略或解决方案的设计和分析。 这篇论文不仅介绍了类型λ-演算的理论框架,还展示了如何通过游戏和模型检查技术来处理高阶匹配问题,这对于理解和验证复杂的计算系统具有重要意义。
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C. Stirling/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 172
(
2007
)
589
593
J
J
J
J
J
.. .
. ..
....
你好。
J
哦
哦
,
,
o
o o
o
o
o
,
o
o
o
o
、
、
,,,
,,
,
,
,
,
,
o
s
o
z
i
.. .
,
z
i
u
t
v
1
v
n
i
. .
. .
. .
λy
λz
. .
. .
. .
y
,
z
,
,
得
双
曲
余
切
值
.
、
、
、
,
,
z
得
双
曲
余
切
值
.
、
、
,
z
图二、说明游戏语义
然后,有一个有限的游戏,它从t的根开始,可能会反复
地在
t和v
i
之间
在一个
恒定
的
a:
0
游戏结束。在其他常量中,玩家Proponent试图匹配对手当游戏
结束时,如果遇到的常量序列与对手选择的分支相匹配,则支持者获胜。例
如,Play可以在t中到达y,然后在v
i
中跳到λz,因为它是λz处的子树应用于
λy,然后当在
z
in
v
i
play可以返回到t到y的直接后继者。博弈语义
在图
2
的固定结构上
对
β约简进行建模,而不使用替换对其进行更改。这就是树
检查游戏的基本原理。然而,它从只有t是问题P的公共结构的假设开始。 所
以,游戏永远在t中。当
play
遍历
t
时,使用状态
对
v
i
的
跳跃进行此外,游戏通过调
用迭代定义的查找表来避免游戏语义的公正指针。
树检查博弈
G
(t
,
P)由一个参与者参与,参与者是试图证明t不是P的解的
反驳者
。它诉诸于一组有限的状态,包括
左项
,v
i
的
子项,和右项,
v i
的
u
i
有三种状态:
参数
、
值
和
最终
状态。参数状态具有形式q
[
(l
1
,
.
其中
每个
Lj
是左项(并且k可以是0)并且r是右项。这样的状态将发生在标记为λz 1的
节点处. z
k
in
t,其中每个l
j
具有与
z j
相同的类型:(l
1
,
.
,
lk
)是应用于λz
1
..
z
k
.值状态具有形式q[l
,
r],其中l是左项,r是右项。该状态与标记
有
t中的变
量y的节点相关联,其中y和l共享相同的类型:
某些v
i
在博弈语义学中会跳到
什么
最终
状态是q[]或q[]。
、
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594
C. Stirling/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 172
(
2007
)
589
我
D
m
+1
M
J
A.
t
m
=
λy
1
. . .
y
j
,
t
m
↓
1
t
J
andd
q
m
=
q
[
(
l
1
,
. . . .
,
lj
)
,
r
]。
因此,t
m+1
=
t
J
,θ
m+1
=
θ
m
{
l
1
η
m
/y
1
,
.
,
l
j
η
m
/y
j
}
和q
m+1
,η
m+1
由
t m +1
上
的情况定义。
1.
a:0。因此,η
m+1
=
η
m
。如果r
=
a,则q
m+1
=
q[
n
]
,否则q
m+1
=
q[n
]
。
2.
f
:(
B1
,
.
,
B
k
,
0
)。 因此,η
m+1
=
η
m
。 如果r
=
fs
1
... s
k
)
then
q
m+1
=
q
m
else
q
m+1
=
q
[m
]
。
3.
y:B
.
若θ
m+1
(y)
=
lη
i
,则η
m+1
=
η
i
且
qm+1
=
q
[
l
,
r
].
B. t
m
= f
:(
B1
,
.
,
B
k
,
0
),
t
m
↓
i
t
J
并且q
m
=
q
[
(l
1
,
.
,
lj
)
,
fs
1
. s
k
]
。
因此,θ
m+1
=
θ
m
,η
m+1
=
η
m
,且
θ m
选择方向d:
1
≤d≤k。
1.
t
m+1
=
t
J
.
如果s
d
:
0
,则
qm+1
=
q
[
()
,
s
d
]
。
如果s
d
是λx
1
…x
n
.s则
q
m+1
=
q
[
(
c1
,
.
,
c
n
)
,
s
{
c
1
/x
1
,
.
,
Cn
/
Xn
}
]
,其中C
i
是新的常数,并且每个
C i
具有与
X i
相同的类
型
。
C.
t
m
=
y和q
m
=
q
[
l
,
r
]
。
如果
l
=
λz
1
. . .
z
j
。
w
and
t
m
↓
i
t
J
t
en
n n
m
+1
=
n
m
{
t
J
θ
m
/z
1
,
. .
,
t
J
θ
m
/z
j
}
else
i
1
j
η
m+1
=η
m
。元素
t
m+1
,
q
m+1
和
θ
m+1
是
l
上的特例
.
1.
a
:
0
或λz.a
.
所以,t
m+1
=
t
m
,θ
m+1
=
θ
m
。如果r
=
a
,则q
m+1
=
q
[n]
,
否
则q
m+1
=
q
[n
]
。
2.
c:(
B1
,
.
,
B
k
,
0
)。 所以θ
m+1
=θ
m
。 如果r1=cs
1
. s
k
则t
m+1
=t
m
,
q
m+1
=
q
[m]
。 否则,
n
选择一个方向d:
1≤
d
≤
k且t
J
=
t
J
其中t
J
↓
d
t
J
。 如果s
d
:0,则q
m+1
=
q
[
()
,
s
d
]
。 如果s
d
是λx
1
… x
n
.s
然后
q
m+1
=
q
[
(c
1
,
.
,
c
n
)
,
s{c
1
/x
1
,
.
,
c
n
/x
n
}
]
,其中c
i
是新常数
并且每个c
i
具有与
xi
相同的类型。
3.
f
w
1
... w
k
或λz fw
1
. w
k
.
所以,t
m+1
=
t
m
,θ
m+1
=
θ
m
。 如果rf
=
fs
1
. s
k
则
q
m+1
=
q
[
k
]
。否 则 ,
k
选择一个方向d:
1
≤ d ≤ k。如果s
d
:0,则
q
m+1
=
q
[
w
d
,
s
d
]
。 如 果 s
d
=
λx
1
. x
n
.s 和 w
d
=
λy
1
. y
n
.w , 则
q
m+1
=
q
[
w
{
c
1
/y
1
,
.
,
Cn
/
yn
}
,
s
{
c1
/
x1
,
.
,
Cn
/
Xn
}
]
,其中,
Ci
是新的常数,并且每个
Ci
具有与
Xi
和
yi
相同的类型
。
4.
xl
1
. l
k
或
λz.xl
1
. l
k
.
如果
η
m+1
(
x
)
=
t
J
θ
i
,则
t
m+1
=
t
J
,
θ
m+1
=
θ
i
,
q
m+1
=
q
[
(l
1
,
.
,
lk
)
,
r
]
。
图三. 游戏动作
当游戏在t中进行时,有两种自由变量:在t中的自由变量,如图
2
中
的
y,以
及在状态的左项中的自由变量,如图
2
中
的
z。 t中的自由变量与左项相关联,
状态中的自由变量与t的节点相关联。所以这个博弈需要一系列的补充查找表
θ
k
和η
k
,k≥ 1:θ
k
是从t中的变量到对lη
j
的部分映射
,其中l是左项,j
是
<k,
η
k
是从v
i
J
到
pa
ir
s
t
J
θ
j
的子项中的自由变量的部分映射,其中r
et
J
是
t
e
e
t
和d
j<
k
的任
意一个
。
一个
与包含自由变量的左子项l相
的
变量
i
_
y
θ
k
(y)是一对lη
j
,
因为η
j
记录
了
l和j k中自由变量的值。类似地,左子项中
的变量可以与包含自由变量的t的子树相关联。最初,在游戏开始时,没有
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