动态规划实例解析：火车转车费用与数字三角形最小路径

本文主要探讨了动态规划在解决实际问题中的应用，特别是通过阶段前I件物品的实例进行概念分析。首先，通过火车从杭州到北京的转车问题引入，展示了如何运用贪心策略来解决某些子问题，其中问题1可以通过独立的子问题求解得到最少车费，但问题2由于转车情况的复杂性，涉及到子问题间的相互依赖，不能单纯用贪心法，需要采用动态规划方法。 动态规划是一种通过将大问题分解成子问题并存储子问题解以避免重复计算的算法。在给定的数字三角形问题中，例如1，23，456，…，需要找到从顶层到底层的路径，使得经过的权值之和最小或最大。文章提供了一种递推式的方法，通过二维数组f[I,j]表示每个位置到最后一行的最优解，使用了自底向上的“从底向上层层递推”的策略，每次更新最优解时，考虑到与相邻位置的比较和选择，避免了不必要的重复计算。 对于复杂问题，比如搜索算法中的路径优化，文中提到从顶部向下的递归方法虽然直观，但由于其时间复杂度为O(2^n)，在大规模数据下会超时。为了解决这个问题，文章引入了"opt"数组，用于存储已经计算过的子问题结果，这样在后续的搜索过程中，可以避免重复计算，提高了效率，将时间复杂度降低到线性水平。 本文重点讲述了动态规划在处理具有重叠子问题和最优子结构的问题时的优势，以及如何通过存储中间结果和优化搜索过程来提高算法效率。通过具体的例题，读者能更好地理解和掌握动态规划的原理和应用技巧。