二阶椭圆与抛物方程的偏Schauder估计：理论与应用 - CSDN文库

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曹毅等: 二阶椭圆与抛物方程的偏 Schauder 估计

Wang 和 Tian

[16]

给出了方程 (2.1) 的偏 Schauder 估计, 其结论包括定理 2.2–2.4, 证明方法与定

理 2.1 的证明类似.

定理 2.2

[16]

如果 u ∈ C

2

(B

1

) 是方程 (2.1) 的解, 并且 f 在 B

1

中沿方向 e 偏 Dini 连续, 则对

任意的两点 x, y ∈ B

1/2

, 有

|∂

e

∂

x

u(x) − ∂

e

∂

x

u(y)| 6 C



d∥u∥

0,B

1

+



d

0

w

f,e

(r)dr

r

+ d



1

d

w

f,e

(r)dr

r

2

+ d∥f∥

L

1

(B

1

)



, (2.10)

其中 ∂

x

表示任意方向的偏导数, d = |x − y|, 常数 C 只依赖于 n.

注 2.2 当 f(x) 在 B

1

中沿方向 e 偏 α 阶 H¨older 连续时, 由 (2.10) 可以得到

∥∂

e

∂

x

u∥

α,B

1/2

6 C



∥u∥

0,B

1

+

∥f∥

C

α

e

(B

1

)

α(1 − α)



, 若 0 < α < 1, (2.11)

|∂

e

∂

x

u(x) − ∂

e

∂

x

u(y)| 6 Cd(∥u∥

0,B

1

+ ∥f∥

C

0,1

e

(B

1

)

|log d|), 若 α = 1. (2.12)

注 2.3 (2.11) 表明, 当 f (x) 仅沿方向 e 偏 H¨older 连续时, 偏导数 ∂

e

u 沿任意方向都是 H¨older

连续的. 因此, 当 f(x) 沿方向 x

p+1

, . . . , x

n

都偏 H¨older 连续时, 如果 i > p + 1 或 j > p + 1, 则二阶偏

导数 u

x

i

x

j

沿任意方向都是 H¨older 连续的. 特别地, 若 p = 1, 由上面的分析可知 u

x

2

x

2

, . . . , u

x

n

x

n

都

是 H¨older 连续的, 则 u

x

1

x

1

沿 x

2

, . . . , x

n

方向都是 H¨older 连续的.

定理 2.2 的证明梗概不妨设 e = e

n

:= (0, . . . , 0, 1). 记 B

k

= B

ρ

k

(0) (ρ =

1

2

, k = 0, 1, 2, . . .),

x = (x

′

, x

n

), C 表示一致常数, 其具体的数值可以不同. 令 u

k

是下列方程的解:







∆u

k

= f (x

′

, 0), 在 B

k

内,

u

k

= u, 在 ∂B

k

上,

则 u −u

k

满足方程







∆(u − u

k

) = f(x) − f (x

′

, 0), 在 x ∈ B

k

内,

u − u

k

= 0, 在 x ∈ ∂B

k

上.

由极值原理得

∥u − u

k

∥

0,B

k

6 Cρ

2k

w

f,e

(ρ

k

), ∥u

k+1

− u

k

∥

0,B

k+1

6 Cρ

2k

w

f,e

(ρ

k

). (2.13)

令 v

k

= u

k+1

− u

k

, 显然 v

k

在 B

k+1

内调和. 因此,

∥D

2

v

k

∥

0,B

k+2

6 Cρ

−2k

∥v

k

∥

0,B

k+1

6 Cw

f,e

(ρ

k

). (2.14)

取充分接近原点的 z, 取 k 充分大使得 ρ

k+4

6 |z| 6 ρ

k+3

. 因为 u ∈ C

2

(B

1

), 易证

D

2

u(0) = lim

k→∞

D

2

u

k

(0).

令

I

1

= |∂

e

∂

x

u

k

(0) − ∂

e

∂

x

u(0)|,

I

2

= |∂

e

∂

x

u

k

(z) − ∂

e

∂

x

u

k

(0)|,

I

3

= |∂

e

∂

x

u

k

(z) − ∂

e

∂

x

u(z)|,

18

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AlessioMicheli

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