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二阶椭圆与抛物方程的偏Schauder估计:理论与应用
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更新于2024-07-14
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"这篇学术文章是曹毅和李东升发表在中国科学:数学期刊上的综述,探讨了二阶椭圆和抛物方程的偏Schauder估计,以纪念董光昌教授90华诞。文章由陕西师范大学和西安交通大学的研究者撰写,得到了国家自然科学基金和中央高校基本科研业务费的支持。 Schauder估计在偏微分方程(PDE)的正则性理论中占据核心地位,对于理解和解决非线性方程的唯一性和存在性问题至关重要。近年来,各向异性方程的偏Schauder估计成为研究焦点。本文旨在概述几种特定类型的二阶椭圆和抛物方程的偏Schauder估计,并阐述其证明策略。此外,作者还提出了一种新的证明散度型椭圆方程偏Schauder估计的方法。 文章的关键词包括椭圆方程、抛物方程、偏Schauder估计和Hölder估计,这些都是PDE正则性理论的关键概念。Lp估计、Schauder估计、Krylov-Safanov估计和DeGiorgi-Nash估计等是研究偏微分方程的重要工具。二阶非散度型方程的Schauder估计表明,如果方程的系数和源项具有Hölder连续性,那么解的二阶偏导数也将具有Hölder连续性。Poisson方程的Schauder估计是最早被证明的例子,其证明方法基于Newton迭代。 文章深入介绍了Schauder估计的背景和历史,强调了它在PDE理论中的重要地位,以及在处理各向异性问题时的挑战。作者通过分析和新证,为研究者提供了更全面的理解和更实用的工具,有助于进一步推动该领域的研究。"
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曹毅等: 二阶椭圆与抛物方程的偏 Schauder 估计
Wang 和 Tian
[16]
给出了方程 (2.1) 的偏 Schauder 估计, 其结论包括定理 2.2–2.4, 证明方法与定
理 2.1 的证明类似.
定理 2.2
[16]
如果 u ∈ C
2
(B
1
) 是方程 (2.1) 的解, 并且 f 在 B
1
中沿方向 e 偏 Dini 连续, 则对
任意的两点 x, y ∈ B
1/2
, 有
|∂
e
∂
x
u(x) − ∂
e
∂
x
u(y)| 6 C
d∥u∥
0,B
1
+
d
0
w
f,e
(r)dr
r
+ d
1
d
w
f,e
(r)dr
r
2
+ d∥f∥
L
1
(B
1
)
, (2.10)
其中 ∂
x
表示任意方向的偏导数, d = |x − y|, 常数 C 只依赖于 n.
注 2.2 当 f(x) 在 B
1
中沿方向 e 偏 α 阶 H¨older 连续时, 由 (2.10) 可以得到
∥∂
e
∂
x
u∥
α,B
1/2
6 C
∥u∥
0,B
1
+
∥f∥
C
α
e
(B
1
)
α(1 − α)
, 若 0 < α < 1, (2.11)
|∂
e
∂
x
u(x) − ∂
e
∂
x
u(y)| 6 Cd(∥u∥
0,B
1
+ ∥f∥
C
0,1
e
(B
1
)
|log d|), 若 α = 1. (2.12)
注 2.3 (2.11) 表明, 当 f (x) 仅沿方向 e 偏 H¨older 连续时, 偏导数 ∂
e
u 沿任意方向都是 H¨older
连续的. 因此, 当 f(x) 沿方向 x
p+1
, . . . , x
n
都偏 H¨older 连续时, 如果 i > p + 1 或 j > p + 1, 则二阶偏
导数 u
x
i
x
j
沿任意方向都是 H¨older 连续的. 特别地, 若 p = 1, 由上面的分析可知 u
x
2
x
2
, . . . , u
x
n
x
n
都
是 H¨older 连续的, 则 u
x
1
x
1
沿 x
2
, . . . , x
n
方向都是 H¨older 连续的.
定理 2.2 的证明梗概 不妨设 e = e
n
:= (0, . . . , 0, 1). 记 B
k
= B
ρ
k
(0) (ρ =
1
2
, k = 0, 1, 2, . . .),
x = (x
′
, x
n
), C 表示一致常数, 其具体的数值可以不同. 令 u
k
是下列方程的解:
∆u
k
= f (x
′
, 0), 在 B
k
内,
u
k
= u, 在 ∂B
k
上,
则 u −u
k
满足方程
∆(u − u
k
) = f(x) − f (x
′
, 0), 在 x ∈ B
k
内,
u − u
k
= 0, 在 x ∈ ∂B
k
上.
由极值原理得
∥u − u
k
∥
0,B
k
6 Cρ
2k
w
f,e
(ρ
k
), ∥u
k+1
− u
k
∥
0,B
k+1
6 Cρ
2k
w
f,e
(ρ
k
). (2.13)
令 v
k
= u
k+1
− u
k
, 显然 v
k
在 B
k+1
内调和. 因此,
∥D
2
v
k
∥
0,B
k+2
6 Cρ
−2k
∥v
k
∥
0,B
k+1
6 Cw
f,e
(ρ
k
). (2.14)
取充分接近原点的 z, 取 k 充分大使得 ρ
k+4
6 |z| 6 ρ
k+3
. 因为 u ∈ C
2
(B
1
), 易证
D
2
u(0) = lim
k→∞
D
2
u
k
(0).
令
I
1
= |∂
e
∂
x
u
k
(0) − ∂
e
∂
x
u(0)|,
I
2
= |∂
e
∂
x
u
k
(z) − ∂
e
∂
x
u
k
(0)|,
I
3
= |∂
e
∂
x
u
k
(z) − ∂
e
∂
x
u(z)|,
18
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