离散时间信号处理：模拟滤波器的级联数字化方法

模拟滤波器数字化方法是数字信号处理中的一个重要主题，主要涉及将连续时间的模拟信号转换为离散时间信号的过程。在这个过程中，通常通过采样技术将模拟信号等间隔地转换为离散时间序列。在清华大学程佩青教授的《数字信号处理》第三版课件中，这一章详细介绍了离散时间信号的概念和性质。 首先，课件强调了离散时间信号与连续时间信号的区别，后者自变量取连续值，函数值可以是连续的，比如语音和电视信号，而离散时间信号的自变量取离散值，函数值则是连续的。数字信号则是两者离散化的结果，自变量和函数值都取离散值。 在离散化过程中，连续时间信号xa(t)通过等间隔采样，如每间隔T获取一个样本，形成离散序列xa(nT)，其中n是整数，非整数时刻则没有定义。这种序列可以用公式、图形或集合符号表示，例如单位抽样序列和单位阶跃序列是两种常见的离散时间序列。 单位抽样序列，记作δ(n)，其特点是所有非零值只出现在n=0的位置，其余均为0；单位阶跃序列，记作u(n)，则在n=0处为1，其他所有n值为0。这两个序列在数字信号处理中具有基础作用，它们之间的关系可以通过简单的代数变换来理解，如单位阶跃序列的延拓版本等于单位抽样序列的逐项移位。 课件还涉及到离散时间系统的概念，如线性、移不变、因果性和稳定性，这些都是分析和设计数字滤波器的基础。学生需要掌握如何判断一个线性移不变系统是否满足这些性质，以及如何通过常系数线性差分方程来求解其单位抽样响应。 此外，课件还会介绍连续时间信号的时域抽样，特别是奈奎斯特抽样定理，它规定了为了不失真地恢复连续信号，采样频率必须至少是信号最高频率的两倍。这在模拟滤波器数字化中至关重要，因为过低的采样率可能导致信号重构时出现混叠失真。 程佩青教授的课件深入浅出地讲解了模拟滤波器数字化的方法，包括离散时间信号的定义、基本操作，以及关键的抽样理论，为理解和应用数字信号处理提供了扎实的理论基础。