Python实现最速下降法求多元函数极小值

本文主要介绍了如何使用Python实现最速下降法来寻找多元函数的极值。最速下降法，也称为梯度下降法，是一种优化算法，用于在迭代过程中找到函数的局部最小值。该方法利用函数梯度的负方向作为搜索方向，通过调整步长（搜索距离）来逼近极值点。 在最速下降法的迭代公式中，\( \mathbf{d_k} \) 是负梯度方向，即函数在当前点的梯度的相反方向，\( \alpha_k \) 是步长，它决定了沿着这个方向移动的距离。通常，步长的选取会用到线性搜索技术，如Goldstein不精确线性搜索或Wolfe条件的线性搜索，以确保每次迭代都能朝着函数值减小的方向前进。 文中提供了一个Python实现的Goldstein搜索函数，该函数接受目标函数f、其梯度df、当前迭代点x、当前搜索方向d以及一些参数（如初始步长、rho和t），并返回满足Goldstein准则的步长。Goldstein准则要求新的函数值减少但不过于剧烈，以保证迭代的稳定性。 Rosenbrock函数作为示例被用来展示最速下降法的应用，这是一个常用的测试函数，其形式为 \( f(x) = 100 \times (x_2 - x_1^2)^2 + (1 - x_1)^2 \)，其梯度为 \( \nabla f(x) = (-400 \times (x_2 - x_1^2) \times x_1 - 2 \times (1 - x_1), 200 \times (x_2 - x_1)) \)。通过计算函数及其梯度，可以应用最速下降法的迭代公式来逐步接近Rosenbrock函数的最小值。 这个Python实现的最速下降法程序将不断更新迭代点x，直到满足停止条件（例如，函数值变化小于某个阈值或者达到最大迭代次数）。整个过程体现了最速下降法在解决优化问题中的基本思想和步骤，对于学习和理解梯度下降法的实现非常有帮助。