提升素数筛选效率：剔除2的倍数优化策略

本文主要讨论了一种针对素数筛选法的优化策略，旨在提高原始算法的效率。原始素数筛选法的核心是通过埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）在整数范围内寻找质数，该方法在[2, N]中进行遍历，并标记出合数。原始算法的时间复杂度为O(n log log n)，空间复杂度为O(n)。 作者观察到，由于2是最小的质数，所有的偶数都不可能是质数，因此可以通过预先排除2的倍数来简化筛选过程。在优化后的算法中，首先将2从待筛选列表中移除，并相应调整标记数组mark，使其表示的不再是当前数值本身，而是2的倍数加1（奇数）的合数情况。这样，mark[i]不再是i的合数标记，而是2i+1的合数状态。 优化的关键在于，当检测到一个质数p后，不再需要标记其倍数，因为它们已经因为p的存在而被确定为合数。这个优化减少了不必要的计算，尤其是在处理大范围数据时，可以显著减少循环次数。新算法的时间复杂度有所下降，具体为k1f(n)，其中k1小于1，表明优化后的算法运行速度至少是原算法的一半以上。空间复杂度也相应减少，为k2g(n)，k2同样小于1，意味着节省了存储空间。 优化后的代码示例中，作者提供了一个简化过的for循环，只遍历到m的一半，然后在最后再处理剩余未处理的奇数。这进一步提升了效率，避免了重复计算。 这篇文章的核心知识点包括： 1. 埃拉托斯特尼筛法的原理和改进。 2. 利用质数的特性，如2的特殊地位和倍数性质，简化筛选过程。 3. 优化后的算法结构，如何通过删除已知质数倍数来减少待检查的元素。 4. 时间复杂度和空间复杂度的分析与优化后的变化。 这种优化策略不仅适用于基础的素数筛选，对于大型数据集中的质数查找以及相关数学问题求解都有着实际的应用价值。