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min
x S
fx S
x uv
F
j
x w
j
j E S
其中
是固定数令
f
x
fx 如果 x S
fx
x
qx
如果
x q
q
否则
相应的罚问题可表示成
min
x uv
f
x
这里约束违背测度表示为
x
j E
F
j
x w
j
在较弱的条件下 文献表明非线性规划问题 的局部最优值点就是相应的罚问题的
最优值点然而文献证明了对于充分大的罚参数 当 时罚问题不存
在 KarushKuhnTucker 点 x 但是我们设计算法得到的一般就是 KarushKuhnTucker
点这是可以计算的因此这是求解原问题的一个实际问题
受文献的启发本文中针对极大极小问题我们提出一种新的精确光滑罚函数这
就是本文的写作目的这种罚函数的主要特点是我们仅仅增加一个变量 到约束中效益函数
可以看作是 x 和 的函数 即使不需要梯度和 Jacobi 矩阵的信息 也具有好的光滑性质和精
确性质在 S 上 只要 fx 是下有界的 罚函数就是下有界的 这一点是 l
精确罚函数所不具
备的众所周知罚参数过大会给计算结果带来不好的影响因此本文中对于算法我们仅仅
要求罚参数增加较小的常数目的是保持罚参数尽可能的小避免变态的情况发生我们将会给
出如果罚问题的局部最优解处满足线性独立约束规范那么局部极小值点可以被表述成
x
的形式另外我们推出一个重要的结论罚问题的极小值点x
满足
当且仅当x
是原问题P的最优值点其中
是最优目标函数值这个性质表明引
入的新变量 可以被看作是原问题P的局部全局最小值点的指示变量除了具有上述的
性质之外我们指出这个罚问题还具有精确性也就是说 存在一个有限数当罚参数大于这
个有限数时 罚问题的最小值点就是原问题的最小值点进一步局部精确性质也将会被给
出这里目标函数和约束函数未必要求是光滑的
本文结构安排如下第 节我们介绍求解带约束的极大极小规划问题的光滑精确罚函
数第 节我们将会给出罚函数算法及其收敛性分析第 节讨论这个新的精确光滑罚函数
的局部精确性质第 节数值结果第 节总结本文
一种新的光滑精确罚函数
记
S x R
n
f
j
x j q
F
j
x j q m
正如在引言中所陈述的通过引入变量 我们将规划问题P等价写作下面的优化问题
min
x S
S
x R
n
f
j
x
w
j
j q
一种新的求解带约束的有限极大极小问题的精确罚函数