"复变函数题解_2019秋 学生总结"。
复平面上三个相异且不共线的点z1, z2, z3构成一个三角形∆z1z2z3。我们要求出这个三角形的外接圆圆心z0的坐标,并证明当且仅当z0 = z1+z2+z3时,∆z1z2z3为正三角形,并求出外接圆的半径r。 根据外心的定义,外接圆圆心到三个顶点的距离相等,即|z0 - z1| = |z0 - z2| = |z0 - z3| = r。对这三个等式取平方后,利用复数模的性质|z|^2 = zz,得到关于z0的方程组: |z1|^2 + |z0|^2 - 2 Re(z1z0) = |z2|^2 + |z0|^2 - 2 Re(z2z0) = |z3|^2 + |z0|^2 - 2 Re(z3z0) 将其看作关于z0, z0, (r^2 - |z0|^2)的三元一次方程组,利用克莱姆法则可以解得z0为: z0 = (z1|z1|^2 + z2|z2|^2 + z3|z3|^2) / (|z1|^2 + |z2|^2 + |z3|^2) 当且仅当z0 = z1+z2+z3时,外接圆圆心才在三角形的重心处,此时∆z1z2z3为正三角形。接下来我们来计算外接圆的半径r。 由外接圆半径的定义可知,r = |z0 - z1|。将z0代入,展开计算可得: r = √(|z1|^2 + |z2|^2 + |z3|^2 - (z1z2* + z1z3* + z2z3* + z2z1* + z3z1* + z3z2*)) 其中z*表示复共轭。综上所述,复平面上三个相异不共线的点z1, z2, z3构成一个三角形∆z1z2z3的外接圆圆心坐标为z0 = (z1|z1|^2 + z2|z2|^2 + z3|z3|^2) / (|z1|^2 + |z2|^2 + |z3|^2),且当且仅当z0 = z1+z2+z3时,三角形为正三角形,外接圆的半径r为√(|z1|^2 + |z2|^2 + |z3|^2 - (z1z2* + z1z3* + z2z3* + z2z1* + z3z1* + z3z2*))。
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