3D刚体运动与李群在计算机视觉中的应用

"这篇文档是关于计算机视觉中矩阵李群的应用和理论的总结笔记，主要涉及3D刚体运动的表示、李群和李代数的概念及其在视觉SLAM中的应用，作者持续进行了修订和更新以修正错误。" 在计算机视觉领域，3D刚体运动的表示是一个基础而关键的概念。刚体的3D旋转可以描述为坐标系的旋转，例如，一个固定在物体上的坐标系ℱ，其单位正交基为𝑒1,𝑒2。当该坐标系绕某一轴旋转时，旋转可以通过欧拉角来表示，通常用三个旋转角度来描述。然而，欧拉角有时会产生万向节死锁问题，因此更常用的是使用旋转矩阵𝑅，它是一个3x3的正交矩阵，满足𝑅_RT = 𝐼，其中𝑅_T是𝑅的转置，𝐼是单位矩阵。旋转矩阵代表了从初始坐标系到旋转后坐标系的变换。 李群和李代数是数学中描述连续变换群的工具，它们在3D刚体运动表示中起到重要作用。李群是一组运算规则下的连续集合，比如SO(3)表示所有旋转矩阵的集合，而SE(3)包含了所有3D平移和旋转的组合。李代数则是李群的切空间，它对应于李群的局部近似，如so(3)是SO(3)的李代数，se(3)是SE(3)的李代数。李代数元素通常是反对称矩阵，可以看作是微小旋转或平移的表示。 对于3D运动，增量和导数的表示在李群上非常重要。李群的增量可以理解为两个连续运动之间的微小变化，而相对于这些增量的导数描述了运动如何随时间变化。例如，在SLAM（Simultaneous Localization And Mapping，同时定位与建图）中，通过对重投影误差的导数分析，可以优化相机的位姿估计，从而提高定位精度。 在视觉SLAM中，李群和李代数的应用广泛。重投影误差是衡量图像中特征点实际投影位置与预测位置差异的一个指标，通过最小化这个误差，可以求解相机姿态和平面参数。光束平差法（BA）是一种优化方法，它通过调整模型参数来最小化所有观测到的重投影误差，以获得更准确的三维重建结果。另外，除了几何误差，还可以考虑光测量误差，即图像亮度信息的差异，进一步优化SLAM系统。 矩阵李群和李代数为理解和处理计算机视觉中的3D刚体运动提供了一种严谨的数学框架，并且在实际的视觉SLAM算法设计和优化中扮演着核心角色。通过深入理解和应用这些概念，可以实现更高效、更精确的视觉定位和场景理解。